2019届二轮复习（理）专题二第三讲平面向量学案

第三讲　平面向量

年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
向量的线性运算·T6
1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.

Ⅱ卷
数量积的运算·T4
Ⅲ卷
向量共线的坐标运算及应用·T13
2017
Ⅰ卷
向量的模的求法·T13
Ⅱ卷
数量积的最值问题·T12
Ⅲ卷
平面向量基本定理及最值问题·T12
2016
Ⅰ卷
向量数量积的坐标运算·T13
Ⅱ卷
向量坐标运算、数量积与向量垂直·T3
Ⅲ卷
数量积求夹角·T3



平面向量的概念及线性运算

授课提示：对应学生用书第25页

[悟通——方法结论]
　如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ).
该结论比较典型，由此可知：若A，B，C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在λ∈R，使得＝λ＋(1－λ).注意：这里，的系数之和等于1.
特殊情形：若点C为线段AB的中点，则＝(＋)．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析：作出示意图如图所示．

＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
故选A.
答案：A
2．如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)

A．1　 B．2
C．3 D．4
解析：根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.
答案：C
3．(2018·西安三模)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：设BC的中点为D，则由＝＋λ(＋)，可得＝λ(＋)＝2λ，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C.
答案：C
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
答案：

1．记牢2个常用结论
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
2．掌握用向量解决平面几何问题的方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．




平面向量的数量积

授课提示：对应学生用书第25页

[悟通——方法结论]
1．平面向量的数量积运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
2．夹角公式
cos θ＝＝.
3．模
|a|＝＝.
4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b　　　　 B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.
答案：A
2．(2018·西安八校联考)在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是(　　)
A.　　 　B. C．6　　　 D．7
解析：不妨设＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝＋·＋＝(＋)＋·＝×(32＋32)＋×＝，故选B.
答案：B
3．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.
答案：B
4．(2018·合肥一模)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.
答案：－

快审题
1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.
避误区
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.




平面向量在几何中的应用

授课提示：对应学生用书第26页

[悟通——方法结论]
　破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．
　(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　 B．－
C．－ D．－1
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－，选择B.
答案：B
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ ＋μ ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2
C. D．2
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P，＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ ＋μ ＝(λ，2μ)，所以
λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A.

答案：A

数量积的最值或范围问题的2种求解方法
　(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．

[练通——即学即用]
1．(2018·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则·的取值范围是(　　)

A． B．
C．[－1,1] D．[－1,0]
解析：∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则＝＋，·＝0，
∴·＝(＋)·＝·.
∴当点P与点B重合时，·取得最大值，
即·＝·＝××＝1；
当点P与点D重合时，·取得最小值，
即·＝－××＝－1.
∴·的取值范围是[－1,1]．
答案：C
2．(2018·辽宁五校联考)一条动直线l与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则(－)2－4的最大值为(　　)
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：由＝2知G是线段AB的中点，∴＝(＋)，∴(－)2－4＝(－)2－(＋)2＝－4·.由A，B是动直线l与抛物线C：x2＝4y的交点，不妨设A(x1，)，B(x2，)，∴－4·＝－4(x1x2＋)＝－4[(＋2)2－4]＝16－4(＋2)2≤16，即(－)2－42的最大值为16，故选B.
答案：B



授课提示：对应学生用书第126页

一、选择题
1．(2018·郑州一模)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a＋3b|等于(　　)
A.　　 B.
C. D．4
解析：依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.
答案：C
2．(2018·石家庄模拟)在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故选B.
答案：B
3．设向量a＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，若(a－b)⊥a，则实数m＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：因为a＝(1，m)，b＝(m－1,2)，且a≠b，所以a－b＝(1，m)－(m－1,2)＝(2－m，m－2)，又(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，可得(2－m)×1＋m(m－2)＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，a＝b，不符合题意，舍去，故选C.
答案：C
4．(2018·南宁模拟)已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60˚，则△OBC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.
∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60˚，∴||·||＝4.又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，故选A.
答案：A
5．(2018·沈阳模拟)已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为(　　)
A．－2 B．2
C．4 D．6
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－)·(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.
答案：B
6．(2018·洛阳模拟)已知向量a＝(m,2)，b＝(3，－6)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数m的值是(　　)
A．－4 B．－1
C．1 D．4
解析：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方整理得a·b＝0，即3m－12＝0，故m＝4，故选D.
答案：D
7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，
所以|c|＝|a＋b|cos θ ＝ cos θ≤，
所以|c|的最大值是.
答案：C
8．(2018·抚州二模)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：2＝c2＋t2a2＋b2＋2ta·c＋c·b＋2a·b＝2＋t2＋＋2t＋≥2＋2＋2＝8(t＞0)，当且仅当t2＝，2t＝，即t＝1时等号成立，∴|c＋ta＋b|的最小值为2.
答案：B
9．(2018·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)
A.＝－ B.＝－
C.＝－ D.＝－
解析：＝＋＝－＝－－＝－.
答案：A
10．在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝×82－×62＝24.
答案：C
11．(2018·渭南瑞泉中学五模)如图，点P在矩形ABCD内，且满足∠DAP＝30˚，若||＝1，||＝，＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　　)

A． B．3
C． D．
解析：如图，考虑特殊情况，假设点P在矩形的对角线BD上，由题意易知||＝2，∠ADB＝60˚，又∠DAP＝30˚，所以∠DPA＝90˚.由||＝1，可得||＝＝||，从而可得＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝，则＝3.故选B.

答案：B
12．(2018·东北四市模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，所以n＝1－m且0＜m＜1，所以＝(1＋2m,4m－3)，
则||＝＝＝(0＜m＜1)，
所以当m＝时，||min＝.
答案：C
二、填空题
13．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
答案：7
14．(2018·惠州模拟)在四边形ABCD中，＝，P为CD上一点，已知||＝8，||＝5，与的夹角为θ，且cos θ＝，＝3，则·＝________.
解析：∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又＝3，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cos θ＝，∴·＝8×5×＝22，∴·＝(＋)·(－)＝||2－·－||2＝52－11－×82＝2.
答案：2
15．(2018·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：
16．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60˚，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
又·＝3×2×＝3，
所以·＝·(－＋λ)
＝－2＋(λ－)·＋λ2
＝－3＋3(λ－)＋λ×4＝λ－5＝－4，
解得λ＝.
答案：