2019届二轮复习第2讲　基本初等函数、函数与方程学案（全国通用）

第2讲　基本初等函数、函数与方程

1.(1)[2016·全国卷Ⅰ] 若a>b>1,0 A.ac B.abc C.alogbc D.logac (2)[2018·全国卷Ⅲ] 设a=log0.20.3,b=log20.3,则 (　　)
A.a+b B.ab C.a+b<0 D.ab<0 (3)[2017·全国卷Ⅰ] 设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
[试做] 
 
 
命题角度　比较大小
(1)①解决指数、对数比较大小的问题,关键一:将a,b,c三数化为同底或同指数(或同真数);关键二:利用指数函数、对数函数的单调性或图像比较大小.
②注意底数a(01)的取值不同,单调性不同.
(2)①解决含字母指数、对数比较大小的问题,关键一:将不等式两边转化成同底的对数或指数不等式;关键二:利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图像比较大小.
②(特殊值法)取特殊值,例如a=4,b=2,c=.
③(排除法) 将选项中给出的不等式结合已知条件逐个验证排除.
2.(1)[2017·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (　　)
A.- B.
C. D.1
(2)[2014·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
[试做] 
 
 
命题角度　含参函数有唯一零点的问题
①关键一:观察函数是否具有某种对称性;
关键二:求出f'(x),根据f(x)的单调性画出函数f(x)的大致图像;
关键三:分离参数,注意验证x=0是否是零点;
关键四:数形结合法,对解析式进行变形,转化为两个函数的图像有一个交点.
②含参数的问题注意分类讨论.
3.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
[试做] 
 
 
命题角度　据函数零点(方程的根)求参
①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
②分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
③数形结合法:先将解析式变形,转化为两函数图像的交点问题,在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像,再数形结合求解.

小题1基本初等函数的图像与性质
1 (1)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对于任意x∈(0,+∞),都有f=2,则f的值是 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
(2)已知函数f(x)=ex+2(x<0)与g(x)=ln(x+a)+2的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,e)
C. D.
[听课笔记]  
 
 
【考场点拨】
基本初等函数的图像与性质是解决所有函数问题的基础,并且要掌握由基本初等函数所构成的组合函数或复合函数的单调性、奇偶性等的一些判断方法.
【自我检测】
1.下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性和奇偶性均一致的函数是 (　　)
A.y=sin x
B.y=x3
C.y=
D.y=log2x
2.已知f(x)是R上的奇函数,且f(x)=则f= (　　)
A. B.-
C.1 D.-1
3.若a>1,0 A.loga2018>logb2018
B.logba C.(c-b)ca>(c-b)ba
D.(a-c)ac>(a-c)ab
4.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax和g(x)=loga(x+2)(a>0且a≠1)的大致图像可能为 (　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D
图M1-2-1
小题2函数的零点
2 (1)已知函数f(x)=则函数F(x)=f[f(x)]-f(x)-1的零点个数是 (　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
(2)已知函数f(x)=若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点,则实数m的取值范围是　　　　. 
[听课笔记]  
 
 
【考场点拨】
判断函数零点的方法:(1)解方程法,即解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)有几个零点;(2)图像法,画出函数f(x)的图像,图像与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数;(3)数形结合法,即把函数等价地转化为两个函数,通过判断两个函数图像的交点个数得出函数的零点个数;(4)利用零点存在性定理判断.
【自我检测】
1.已知函数f(x)=-log3x,则下列区间中包含f(x)零点的是 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.函数f(x)=2x-的零点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2x+2x-4,则f(x)的零点个数是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
4.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+3m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　. 
小题3函数建模与信息题
3 (1)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间为192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间为 h.
(2)如果函数f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1,x2,x3满足|xi-2|f(xi)=1(i=1,2,3),则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)=aex具有性质Ω,则实数a的取值范围为　　　　. 
[听课笔记]  
 
 
【考场点拨】
(1)构建函数模型解决实际问题的失分点:①不能选择相应变量得到函数模型;②构建的函数模型有误;③忽视函数模型中变量的实际意义.
(2)解决新概念信息题的关键:①依据新概念进行分析;②有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.
【自我检测】
1.国家规定某行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%;超过280万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(　　)
A.560万元 B.420万元
C.350万元 D.320万元
2.函数f(x)的定义域为D,若满足f(x)在D内是单调函数,且存在[a,b]⊆D,使得f(x)在[a,b]上的值域为,则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=logm(mx+2t)(其中m>0且m≠1)是“成功函数”,则实数t的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.
C. D.

第2讲　基本初等函数、函数与方程
典型真题研析
1.(1)C　(2)B　(3)D　[解析] (1)根据幂函数性质,选项A中的不等式不成立;选项B中的不等式可化为bc-1==logab,此时>1,0,进而lg a (2)∵a=log0.20.3,b=log20.3,∴=log0.30.2,=log0.32,∴+=log0.30.4,∴0<+<1,即0<<1,又∵a>0,b<0,∴ab<0,即ab (3)设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lot,3y=3log3t=lot,5z=5log5t=lot,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=()15,所以<.因为()10=32>25=()10,所以<,所以<<,所以3y<2x<5z.
2.(1)C　(2)C　[解析] (1)∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),
∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+ex-2+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),
∴f(2-x)=f(x),则直线x=1为f(x)图像的对称轴.
∵f(x)有唯一零点,
∴f(x)的零点只能为x=1,
即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,
解得a=.
(2)当a=0时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故a≠0.
由f'(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=.
若a<0,则函数f(x)的极大值点为x=0,且f(x)极大值=f(0)=1,极小值点为x=,且f(x)极小值=f=,此时只需>0即可,解得a<-2;
若a>0,则f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2).
3.C　[解析] 函数g(x)=f(x)+x+a有两个零点,即方程f(x)=-x-a有两个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点.分别作出函数f(x)的图像与直线y=-x-a,由图可知,当-a≤1,即a≥-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点,即函数g(x)有两个零点.

考点考法探究
小题1
例1(1)B　(2)B　[解析] (1)因为函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,
且f=2恒成立,所以f(x)-为一个大于0的常数,
令这个常数为n(n>0),则有f(x)-=n,且f(n)=2,
所以f(n)=+n=2,解得n=1,
所以f(x)=1+,所以f=6,故选B.
(2)由题意知,方程f(-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,
即e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0,+∞)上有解,
即函数y=e-x与y=ln(x+a)的图像在(0,+∞)上有交点.
由图可知,将函数y=ln x的图像向左平移到过点(0,1)时,两函数的图像在(0,+∞)上开始有交点,
把(0,1)代入y=ln(x+a),得1=ln a,即a=e,∴a 故选B.

【自我检测】
1.B　[解析] 原函数的定义域为R,在定义域内单调递增,且是奇函数,故选B.
2.C　[解析] f=-f=-f=-f=-log2=-log22-1=1.故选C.
3.D　[解析] 根据对数函数的图像和性质可得loga2018>0>logb2018,logba ∵a>1,0 ∴00,
∴(c-b)ca>(c-b)ba,(a-c)ac<(a-c)ab,故C中不等式正确,D中不等式错误.故选D.
4.A　[解析] 由题意,当a>0时,函数f(x)=2-ax为减函数.若01,则函数f(x)=2-ax的零点x0=∈(0,2),且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为增函数.综上得,正确答案为A.
小题2
例2(1)A　(2)
　[解析] (1)令f(x)=t(t≥0),F(x)=0,则f(t)-t-1=0.作出函数y=f(t)和y=t+1的图像如图所示,结合图像可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3∈(1,2).方程f(x)=0有1个解,方程f(x)=1有3个解,方程f(x)=t3有3个解,

故函数F(x)的零点个数是7.
故选A.
(2)当0≤x≤1时,函数的零点满足2x2+2mx-1=0,
很明显x=0不是其零点,则m=-x+.
当x>1时,函数的零点满足mx+2=0,则m=.
则原问题等价于函数y=m与函数g(x)=的图像有两个不同的交点,求实数m的取值范围.
很明显y=-x+(0 且当x=1时,y=-1+=-,
作出函数g(x)的图像如图所示,结合函数图像可知,实数m的取值范围是.

【自我检测】
1.C　[解析] 由题意,函数f(x)=-log3x在(0,+∞)上为减函数,
且f(2)=-log32=1-log32>0,f(3)=-log33=-<0,
所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.
2.B　[解析] 函数f(x)=2x-的零点个数即为函数y=2x和y=的图像的交点个数.
在同一直角坐标系中作出函数y=2x和y=的图像(图略).
由图可知,两函数图像有一个交点,
故选B.
3.B　[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又f·f(2)<0,且函数在x>0时单调递增,故当x>0时函数有1个零点.根据奇函数的对称性可知,当x<0时函数也有1个零点,故一共有3个零点,故选B.
4.　[解析] 作出函数y=f(x)的图像如图所示.因为g(x)=f(x)+3m有3个零点,所以0<-3m<1,解得-
小题3
例3(1)24　(2)　[解析] (1)由题知192=eb,48=e22k+b,∴e22k=,∴当x=33时,y=e33k+b=192×=24.
(2)由题意知,若f(x)具有性质Ω,则在定义域内|x-2|f(x)=1有三个不同的实数根.
∵f(x)=aex,易知a≠0,
∴方程=|x-2|·ex在R上有三个不同的实数根.
设g(x)=|x-2|·ex=
当x≥2时,g'(x)=(x-1)·ex>0,即g(x)在[2,+∞)上单调递增;
当x<2时,g'(x)=(1-x)·ex,∴g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.
方程=|x-2|·ex在R上有三个不同的实数根,即函数y=g(x)与y=的图像有三个交点,
又∵g(1)=e,g(2)=0,
∴0< ∴a>.
【自我检测】
1.D　[解析] 设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a==320.故选D.
2.D　[解析] 无论m>1还是00),则mx+2t=可化为2t=λ-λ2=-+,结合图像(图略)可得t∈.

[备选理由] 例1考查对数函数,要求熟悉对数函数的图像与性质,重点是数形结合思想的应用;例2考查零点问题,需要将问题转化为研究三角函数与绝对值函数图像的交点问题,特别是要熟知绝对值函数y=|x+a|的图像关于直线x=-a对称;例3是一个新概念题,依据新概念的要求逐一判断.
例1　[配例1使用] 已知函数f(x)是奇函数,定义域为R,且当x>0时,f(x)=lg x,则满足(x-1)f(x)<0的实数x的取值范围是　　　　. 
[答案] (-1,0)
[解析] 作出函数f(x)的图像如图所示.
解不等式(x-1)f(x)<0,
当x>1时,f(x)<0,显然无解;
当x<1时,f(x)>0,即-1 故满足(x-1)f(x)<0的实数x的取值范围是(-1,0).

例2　[配例2使用] 已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和,则M的值为 (　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
[解析] D　因为f(3-x)=|3-2x|-8sin(3π-πx)=|2x-3|-8sin πx=f(x),
所以f(x)的图像关于直线x=对称.
作出函数y=|2x-3|和y=8sin πx的图像(图略),
由图知,f(x)有8个零点,所以所有零点之和为4×2×=12,故选D.
例3　[配例3使用] 已知f(x)是定义在D上的函数,若存在[m,n]⊆D,使函数f(x)在[m,n]上的值域恰为[km,kn],则称函数f(x)是“k型函数”.给出下列说法:
①f(x)=3-不可能是“k型函数”;
②若函数f(x)=(a≠0)是“1型函数”,则n-m的最大值为;
③若函数f(x)=-x2+x是“3型函数”,则m=-4,n=0;
④设函数f(x)=x3+2x2+x(x<0)是“k型函数”,则k的最小值为.
其中正确的说法为　　　　.(填入所有正确说法的序号) 
[答案] ②③
[解析] 对于①,f(x)的定义域是{x|x≠0},且f(2)=3-=1,f(4)=3-=2,
∴f(x)在[2,4]上的值域是[1,2],∴f(x)是“型函数”,∴①错误;
对于②,f(x)=(a≠0)是“1型函数”,即(a2+a)x-1=a2x2,∴a2x2-(a2+a)x+1=0,
∴方程两根之差的绝对值|x1-x2|==≤,即n-m的最大值为,∴②正确;
对于③,f(x)=-x2+x是“3型函数”,即-x2+x=3x,解得x=0或x=-4,∴m=-4,n=0,∴③正确;
对于④,f(x)=x3+2x2+x(x<0)是“k型函数”,则x3+2x2+x=kx有两个不等负实数根,
即x2+2x+(1-k)=0有两个不等负实数根,∴解得0 综上,正确的说法是②③.