2019届二轮复习（理）专题62数系的扩充与复数的引入学案（全国通用）


1．理解复数的基本概念．　
2.理解复数相等的充要条件．　
3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．　
4.会进行复数代数形式的四则运算．　
5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d

共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为 ＝a＋bi，则向量的长度叫做复数 ＝a＋bi的模
| |＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法： 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法： 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法： 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 1， 2， 3∈C，有 1＋ 2＝ 2＋ 1，( 1＋ 2)＋ 3＝ 1＋( 2＋ 3)．
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数 1， 2对应的向量，不共线，则复数 1＋ 2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数 1－ 2是－＝所对应的复数．

高频考点一　复数的概念
例1、(1)设i是虚数单位．若复数 ＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)已知a∈R，复数 1＝2＋ai， 2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　)
A．1 B．i C. D．0
(3)若 1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)， 2＝3－2i，则“m＝1”是“ 1＝ 2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　(1)D　(2)A　(3)A
解析　(1) ＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，
且 ＝a－为纯虚数知a＝3.
(2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.
(3)由解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“ 1＝ 2”的充分不必要条件．
【感悟提升】解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【变式探究】(1)若复数 ＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
(2)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　(1)A　(2)A

高频考点二　复数的运算
例2、(1) i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
(2)复数i(2－i)等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)方法一　i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A.
方法二　i607＝＝＝＝－i，其共轭复数为i.故选A.
(2)i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
【变式探究】(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数 等于(　　)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
(2)()6＋＝ .
答案　(1)D　(2)－1＋i

【方法技巧】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
【举一反三】(1)若复数 满足＝i，其中i为虚数单位，则 等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
(2)2 016＝ .
(3)＋2 016＝ .
答案　(1)A　(2)1　(3)1＋i

高频考点三　复数的几何意义
例3、(1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为 1， 2， 3，若复数 满足| － 1|＝| － 2|＝| － 3|，则 对应的点为△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
答案　D
解析　由几何意义知，复数 对应的点到△ABC三个顶点距离都相等， 对应的点是△ABC的外心．
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

①、所表示的复数；
②对角线所表示的复数； 学 ]
③B点对应的复数．

【感悟提升】因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是(　　)

A．A B．B
C．C D．D
答案　B
解析　表示复数 的点A与表示 的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.
(2)已知 是复数， ＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数( ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解　设 ＝x＋yi(x、y∈R)，
∴ ＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴ ＝4－2i.
∵( ＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2