2019届二轮复习（理）专题34空间几何体的结构及其三视图和直观图学案（全国通用）


1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．　
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．　

1．空间几何体的结构特征
多面体
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
旋转体
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
2.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正，高平齐，宽相等
直观图
空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.
基本步骤是：
(1)原图形中x轴、y轴、 轴两两垂直，直观图中x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)， ′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半. ]

【方法与技巧】
1．三视图的画法特征
“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．
2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法
(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
【失误与防范】
1．画三视图应注意的问题
(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．
2．求空间几何体的表面积应注意的问题
(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

高频考点一 空间几何体的结构特征
例1、给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图(1)所示；③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

【答案】A
【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；
(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；
(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式探究】
下列结论正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
解析　如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.

若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.
答案　D
高频考点二 空间几何体的三视图
例2、[2017·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3
答案　A

故选A.
【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)


(2)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　)
A．1　 　　B.　 　　C.　 　　D.

【答案】(1)D　(2)C
【方法技巧】三视图问题的常见类型及求解策略
(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
【变式探究】下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是(　　)

A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D.
【答案】D
高频考点三 几何体的直观图
例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)



【答案】A
【特别提醒】
利用斜二测画法时，注意原图与直观图中的“三变、三不变”即
“三变”
“三不变”
【变式探究】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)



答案　B
高频考点四 空间几何体中的最值问题
例4、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)

A．8　　　　　　　 B．6
C．10 D．8
【解析】由三视图，可知该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是10.
【答案】C
【变式探究】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定主(正)视图方向垂直于平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为 ．

【解析】由题意，可得左视图是一条直角边为的直角三角形，所以其面积为××BC＝，解得BC＝1.所以DE＝CE＝2.所以△DCE是边长为2的等边三角形，∠AED＝∠BEC＝30°.将△ADE，△DCE，△BCE展开到同一平面上，如图所示，在平面△AEB中，AE＝BE＝，∠AEB＝∠AED＋∠DEC＋∠BEC＝120°，所以AB＝3.所以AM＋MN＋NB的最小值是3.

【答案】3

1. （2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C。

1、[2017·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3
答案　A

故选A.
2.[2017·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3 B．2 C．2 D．2
答案　B
解析　在正方体中还原该四棱锥，如图所示，

可知SD为该四棱锥的最长棱．

3.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
]
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B


1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）

【答案】A
【解析】该几何体直观图如图所示：
] ]
是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
故选A． ]
2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）
【答案】C

3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.

4.【2016高考新课标3理数】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

（A） （B） （C）90 （D）81
【答案】B
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积
，故选B．
5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）

（A） （B） （C） （D）
【答案】C

1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．
2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.
3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A、 B、
C、 D、
【答案】A

4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1，PC=1，，，，，三棱锥表面积，故选C.

5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）

【答案】B


6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．

7.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.

【答案】C.

1．（2014·安徽卷）如图1­5，四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

图1­5
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.

图1
V三棱锥Q ­A1AD＝×·2a·h·d＝ahd，
V四棱锥Q ­ABCD＝··d·＝ahd，
所以V下＝V三棱锥Q ­A1AD＋V四棱锥Q ­ABCD＝ahd.
又V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD＝ahd，
所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.

方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和 轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.
因为S四边形ABCD＝·2sin θ＝6，
所以a＝.

图2
从而可得C(2cos θ，2sin θ，0)，A1，
所以DC＝(2cos θ，2sin θ，0)，＝.

2．（2014·湖北卷）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝L2h，则π≈.故选B.
3．（2014·辽宁卷）某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为(　　)
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－

图1­1
【答案】B　
【解析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2××π×2＝8－π.
4．（2014·安徽卷）一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的表面积为(　　)
A．21＋ B．8＋
C．21 D．18

图1­2
【答案】A　


5．（2014·福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
【答案】A　
【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．学 .
6．（2014·湖北卷）在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­ xy 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)

图1­1
　
A．①和② B．①和③ C．③和② D．④和②
【答案】D　

7．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)

图1­2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B　
【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r＝＝2.
8．（2014·江西卷）一几何体的直观图如图1­1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)

图1­1
　　　
　A　　　　B　　　　C　　　 　D
图1­2
【答案】B　
【解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．
9．（2014·辽宁卷）某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为(　　)
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－

图1­1
【答案】B　

10．（2014·浙江卷）几何体的三视图(单位：cm)如图1­1所示，则此几何体的表面积是(　　)

图1­1
A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2
【答案】D　
【解析】此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，

所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，故选D.
11．（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图1­3， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)

图1­3
A．6 B．6 C．4 D．4
【答案】B　


12．（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图1­1， 格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)

图1­1

A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值为＝.
13．（2014·陕西卷）四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
　　 学 ]
图1­4
【解析】解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，
BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面EFGH，
平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．


方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)．
∴＝，FG＝(－1，1，0)，
BA＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y， )，
则n·FE＝0，n·FG＝0，
得取n＝(1，1，0)，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
14．（2014·天津卷）一个儿何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m3.


图1­3
【答案】.　

15．（2014·重庆卷）某几何体的三视图如图1­2所示，则该几何体的表面积为(　　)

图1­2
A．54 B．60 C．66 D．72
【答案】B　
【解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝×3×4＋＋×4＋×5＋3×5＝60.