2019届二轮复习空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积学案（全国通用）
展开1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
热点题型一 空间几何体的结构特征
例1、给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【提分秘籍】
空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可。
【举一反三】
给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
其中错误的命题的序号是__________。
【答案】①②③④
热点题型二 由几何体的直观图识别三视图
例2、（2018年全国III卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.
【变式探究】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxy 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 Ox平面为投影面，则得到的正(主)视图可以为( )
A B C D
【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxy 的图像为下图：
则它在平面 Ox上的投影即正视图为，故选A项。
【提分秘籍】
由几何体的直观图识别三视图的解题策略
空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果。
【举一反三】
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
主视图 侧视图
A B C D
热点题型三 由几何体的三视图识别直观图
例3、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
A B C D
【解析】A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D。
【答案】D
【提分秘籍】
由几何体的三视图识别直观图的解题策略
在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。
【举一反三】
三视图如图所示的几何体是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
【答案】B
热点题型四 空间几何体的侧面积与表面积
例4、（2018年全国I卷）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.
【变式探究】 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________。
(2)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示。
长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38，
圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为2π×1×1＝2π，
圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π。
故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38。
【提分秘籍】
几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和。
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和。
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决。
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理。
(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解。
【举一反三】
如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为( )
A．15＋3 B．9
C．30＋6 D．18
【解析】图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱，该四棱柱四个侧面都是矩形，上、下两个底面是平行四边形，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×＝30＋6。
【答案】C
热点题型五 空间几何体的体积
例5、（2018年全国I卷）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
【变式探究】 (1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为( )
A. B. C. D.
(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
【解析】(1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝。
【提分秘籍】
计算几何体体积的常见类型及解题策略
常见类型 | 解题策略 |
球的体积 问题 | 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径 |
锥体、柱体的 体积问题 | 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解 |
以三视图为 载体的几何体 体积问题 | 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解 |
不规则几何 体的体积问题 | 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解 |
【举一反三】
一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
A．V1＜V2＜V4＜V3
B．V1＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4
D．V2＜V3＜V1＜V4
【答案】4π
1. （2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
2. （2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.
3. （2018年全国III卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 . .X.X.
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.
1. （2018年全国I卷）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在长方体中，连接，
2. （2018年全国I卷）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.
3. （2018年全国III卷）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
4. （2018年天津卷）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，连结，交于点，很明显平面，则是四棱锥的高，且，，结合四棱锥体积公式可得其体积为：。
+ + .
5. （2018年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
6. （2018年全国卷Ⅱ）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】如下图所示，，又，
解得，所以，所以该圆锥的体积为.
1.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）60 （B）30
（C）20 （D）10
【答案】D
【解析】该几何体是三棱锥，如图：
2.【2017课标II，文6】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】B
1.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
【答案】B
【解析】由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选B.
2.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
【答案】80；40．
【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， ，．
1.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A[
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．
2. [2016高考新课标Ⅲ文数 如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A） （B） （C）90 （D）81
【答案】B
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积
，故选B．
3.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
【解析】由已知，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C. /
4.【2016高考四川文】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积 .
【答案】
5.【2016高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
【答案】
【解析】四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为，因此体积为
1.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为，故选B.
3.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.
5.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A）（B）（）（）
【答案】B
【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为，故选B.
7【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：
8.【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为 .
【答案】
【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为 . /
9.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
【答案】
【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为
如图，因为AA1∥PN，故AA1∥面PMN，
