2019届二轮复习第19练　概率与统计的综合问题[中档大题规范练]学案（全国通用）

第19练　 概率与统计的综合问题[中档大题规范练]
[明晰考情]　1.命题角度：离散型随机变量的分布列及期望是高考重点，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等；概率统计的交汇处是近几年命题的热点.2.题目难度：中档偏上难度.

考点一　互斥事件、相互独立事件的概率
方法技巧　求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
1.为振兴旅游业，某省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
解　(1)由题意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡.
设事件A为“采访该团2名游客，恰有1人持银卡”，
则P(A)＝＝.
所以采访该团2名游客，恰有1人持银卡的概率是.
(2)设事件B为“采访该团2名游客，持金卡人数与持银卡人数相等”，
事件B1为“采访该团2名游客，0人持金卡，0人持银卡”，
事件B2为“采访该团2名游客，1人持金卡，1人持银卡”.
P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝＋＝.
所以采访该团2名游客，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是.
2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
解　(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.
则D＝D0＋D1，且D0，D1互斥.
依题意，得P(D0)＝C03＝3＝，
P(D1)＝C2＝，
所以P(D)＝P(D0)＋P(D1)＝＋＝.
所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.
考点二 　随机变量的分布列、期望与方差
方法技巧　(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.
(2)如果随机变量X能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解.
4.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖.规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
解　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，500，1 000，
则P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1 000)＝××＝，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P




(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，
则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金Y的期望E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算.
5.中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的.
(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；
(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解　(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为事件B，且A，B互斥.
则P(A)＝C×2×＝，P(B)＝3＝.
因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率
P＝P(A)＋P(B)＝.
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为1，2，3，
则P(ξ＝1)＝C×3＝；
P(ξ＝2)＝C×C×2×＝；
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P




故ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X).
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知，X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
考点三 　概率与统计的综合问题
方法技巧　对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题，首先要正确处理图表数据，明确随机变量的意义，然后判断随机变量分布的类型，求出分布列.
7.(2018·桂林模拟)甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数)的分布列如下：

甲
环数
8
9
10
概率

p



乙
环数
8
9
10
概率

q


(1)求p，q的值；
(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
(3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解　(1)由题意得p＝，q＝.
(2)记事件C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，事件D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，则四次射击中恰有三次命中9环为事件C＋D，
∴P(C＋D)＝C×××C2＋C2×C××＝.
(3)ξ的取值分别为0，1，2，
P(ξ＝0)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＋×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
∴ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
P




∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
8.(2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18(0＜p＜1).
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)，0＜p＜1.
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.
由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验.
9.(2017·全国Ⅰ改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95　 10.12　9.96　 9.96　10.01　9.92　  9.98　10.04
10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ 解　(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，
从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16，0.002 6).
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ⅱ)由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.
因此μ的估计值为10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，
剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09.


典例　(12分)某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间(单位：小时)
[0，1)
[1，2)
[2，3)
[3，4)
[4，5)
[5，6]
收看人数
14
30
16
28
20
12

(1)若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“足球达人”，否则定义为“非足球达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：

男
女
总计
足球达人
40


非足球达人

30

总计




并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关；
(2)在全校“足球达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“足球达人”中选取2名作足球知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

K2＝.
审题路线图
―→―→―→―→
―→―→
规范解答·评分标准
解　(1)由题意得下表：

男
女
总计
足球达人
40
20
60
非足球达人
30
30
60
总计
70
50
120

K2的观测值k＝≈3.429>2.706.………………………………………5分
所以有90%的把握认为该校教职工是“足球达人”与性别有关.……………………6分
(2)由题意知抽取的6名“足球达人”中有4名男职工，2名女职工，
所以ξ的可能取值为0，1，2.
且P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，………………………………………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.……………………………………………………12分
构建答题模板
[第一步]　定变量：根据已知条件确定分类变量及取值；
[第二步]　填表格：填写列联表；
[第三步]　下结论：计算K2值并下结论；
[第四步]　算概率：计算随机变量取每一个值的概率并列出分布列；
[第五步]　求期望：根据公式求期望.

1.甲、乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是和，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响.
(1)若每人投球3次(必须投完)，投中2次或2次以上，记为达标，求甲达标的概率；
(2)若每人有4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标.达标或能断定不达标，则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
解　(1)记“甲达标”为事件A，则P(A)＝C×2×＋3＝.
(2)X的所有可能的值为2，3，4.
P(X＝2)＝2＝，
P(X＝3)＝××＋××＋3＋××＝，
P(X＝4)＝××＋××＝.
所以X的分布列为
X
2
3
4
P




所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
2.(2018·咸阳模拟)针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持
保留
不支持
50岁以下
8 000
4 000
2 000
50岁以上(含50岁)
1 000
2 000
3 000

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；
(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望；
(3)在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，8.3，9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
解　(1)参与调查的总人数为8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000，其中从持“不支持”态度的2 000＋3 000＝5 000人中抽取了30人，
所以n＝20 000×＝120.
(2)在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上(含50岁)人数之比为2∶3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上(含50岁)人数分别为4人，6人，ξ＝0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P





E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)总体的平均数为＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9.0，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2，8.3，9.7，所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为.
3.(2018·全国Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；

超过m
不超过m
总计
第一种生产方式



第二种生产方式



总计




(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001

k0
3.841
6.635
10.828
.

解　(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高.
(ⅱ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高.
(ⅲ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高.
(ⅳ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
(2)由茎叶图知m＝＝80.
列联表如下：

超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40

(3)因为K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.