2019届二轮复习第19练　概率与统计的综合问题[中档大题规范练]学案（全国通用）

第19练　 概率与统计的综合问题[中档大题规范练]
[明晰考情]　1.命题角度：离散型随机变量的分布列及期望是高考重点，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等；概率统计的交汇处是近几年命题的热点.2.题目难度：中档偏上难度.

考点一　互斥事件、相互独立事件的概率
方法技巧　求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
1.为振兴旅游业，某省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
解　(1)由题意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡.
设事件A为“采访该团2名游客，恰有1人持银卡”，
则P(A)＝＝.
所以采访该团2名游客，恰有1人持银卡的概率是.
(2)设事件B为“采访该团2名游客，持金卡人数与持银卡人数相等”，
事件B1为“采访该团2名游客，0人持金卡，0人持银卡”，
事件B2为“采访该团2名游客，1人持金卡，1人持银卡”.
P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝＋＝.
所以采访该团2名游客，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是.
2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
解　(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.
则D＝D0＋D1，且D0，D1互斥.
依题意，得P(D0)＝C03＝3＝，
P(D1)＝C2＝，
所以P(D)＝P(D0)＋P(D1)＝＋＝.
所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.
考点二 　随机变量的分布列、期望与方差
方法技巧　(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.
(2)如果随机变量X能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解.
4.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖.规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
解　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，500，1 000，
则P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1 000)＝××＝，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P




(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，
则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金Y的期望E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算.
5.中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的.
(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；
(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解　(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为事件B，且A，B互斥.
则P(A)＝C×2×＝，P(B)＝3＝.
因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率
P＝P(A)＋P(B)＝.
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为1，2，3，
则P(ξ＝1)＝C×3＝；
P(ξ＝2)＝C×C×2×＝；
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P




故ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X).
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知，X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
考点三 　概率与统计的综合问题
方法技巧　对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题，首先要正确处理图表数据，明确随机变量的意义，然后判断随机变量分布的类型，求出分布列.
7.(2018·桂林模拟)甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数)的分布列如下：

甲
环数
8
9
10
概率

p



乙
环数
8
9
10
概率

q


(1)求p，q的值；
(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
(3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解　(1)由题意得p＝，q＝.
(2)记事件C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，事件D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，则四次射击中恰有三次命中9环为事件C＋D，
∴P(C＋D)＝C×××C2＋C2×C××＝.
(3)ξ的取值分别为0，1，2，
P(ξ＝0)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＋×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
∴ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
P




∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
8.(2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18(0＜p＜1).
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)，0＜p＜1.
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.
由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验.
9.(2017·全国Ⅰ改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95　 10.12　9.96　 9.96　10.01　9.92　  9.98　10.04
10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ