2019届二轮复习第31练　坐标系与参数方程[选做大题保分练]学案（全国通用）

第31练　坐标系与参数方程[选做大题保分练]
[明晰考情]1.命题角度： 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.2.题目难度：中档难度.

考点一　曲线的极坐标方程
方法技巧　(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
1.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，求CP的长.
解　由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2，0)，
又由点P的极坐标为，
可得点P的直角坐标为(2，2)，
∴|CP|＝＝2.
2.在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值.
解　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，
即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，
ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.
在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.
将代入x2＋y2＝a2，得a＝.
3.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.
解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为.
4.已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(θ为参数)，以Ox轴为极轴， O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆.
(1)求圆M的普通方程及圆N的直角坐标方程；
(2)求圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值.
解　(1)将方程消去参数θ，可得2＋2＝4，
所以圆M的方程为2＋2＝4.
点和点的直角坐标分别为，，
所以圆N的圆心为，
半径为r＝＝1，
故圆N的直角坐标方程为2＋2＝1.
(2)由(1)得圆M，N的圆心距为MN＝＝4，
所以圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值为dmin＝MN－3＝4－3＝1.
考点二　参数方程及其应用
要点重组　过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
方法技巧　(1)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制.
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
5.(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.
解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0.
曲线C的参数方程为(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，
代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3，t1t2＝1.
由直线参数方程的几何意义，得|PM|·|PN|＝|t1t2|＝1.
7.已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标.
解　(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数)，
直线l的普通方程为x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos θ，sin θ)，
则|AP|＝＝2－cos θ，
点P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
又sin2θ＋cos2 θ＝1，
得sin θ＝，cos θ＝－.
故P.
考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用
方法技巧　(1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
8.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标是(3，0)，.
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l距离d＝.
当a≥－4时，d的最大值为 .
由题设得＝，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为.
由题设得＝，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.
解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2).
设P(x，y)，由题设得
消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).
故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，
所以l3与C的交点M的极径为.
10.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(1，2)，求＋的最小值.
解　 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，
即x2＋(y－3)2＝9.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0，
由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0，
故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以
又直线l过点，
故结合t的几何意义得
＋＝
＝
＝
＝≥
＝2，
所以＋的最小值为2.


典例　(10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝.
(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；
(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值.
审题路线图
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规范解答·评分标准
解　(1)由cos θ＋2sin θ＝0，得ρcos θ＋2ρsin θ＝0，即x＋2y＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.
由ρ2＝，得ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，即x2＋4y2＝4，所以＋y2＝1.
所以椭圆C的直角坐标方程为＋y2＝1.…………………………………………………4分
(2)因为椭圆C：＋y2＝1的参数方程为(α为参数)，……………………6分
可设Q(2cos α，sin α)，
因此点Q到直线l：x＋2y＝0的距离
d＝＝，………………………………………………………8分
所以当α＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.
故点Q到直线l的距离的最大值为.10分
构建答题模板
[第一步]　互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化；
[第二步]　引参：引进参数，建立椭圆的参数方程；
[第三步]　列式：利用距离公式求出距离表达式；
[第四步]　求最值：利用三角函数求出距离的最值.

1.(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点.
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点，即点O到l的距离小于半径1，当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是.
2.已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹；
(2)若直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝，求直线l被曲线C截得的弦长.
解　(1)因为曲线C的参数方程为 (α为参数)，
所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①
曲线C表示以C(3，1)为圆心，为半径的圆.
将代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.
(2)因为直线l的直角坐标方程为y－x＝1，
所以圆心C到直线y＝x＋1的距离d＝，
所以直线被曲线C截得的弦长为2＝.
3.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0).
(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；
(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.
解　(1)由
得
由x>0，得k>，
故曲线M的参数方程为.
(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
∴x2＋y2＝4x.
将代入x2＋y2＝4x，
整理得k2－4k＋3＝0，
∴k1＋k2＝4.
故直线OA与直线OB的斜率之和为4.
4.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，圆C的圆心到直线l的距离为.
(1)求θ的值；
(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求＋的值.
解　(1)由直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，消去参数t，
得xsin θ－ycos θ－sin θ＝0.
圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，
即ρ2＝－4ρcos α，
可得圆C的普通方程为x2＋y2＋4x＝0，
即为(x＋2)2＋y2＝4，
可知圆心为(－2，0)，半径为2，圆C的圆心到直线l的距离为d＝＝3sin θ.
由题意可得d＝，
即3sin θ＝，则sin θ＝，
∵0≤θ<π，
∴θ＝或θ＝.
(2)已知P(1，0)，则点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将
代入圆C的普通方程x2＋y2＋4x＝0，
得(1＋tcos θ)2＋(tsin θ)2＋4(1＋tcos θ)＝0，
∴t2＋6tcos θ＋5＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，
则t1＋t2＝－6cos θ，t1t2＝5，
∵t1t2>0，∴t1，t2同号，
∴＋＝＋＝＝＝.