2019届二轮复习第9练　三角恒等变换与三角函数[中档大题规范练]学案（全国通用）

第9练　三角恒等变换与三角函数[中档大题规范练]
[明晰考情]　1.命题角度：常与三角恒等变换结合，考查三角函数的单调性、对称性、周期性、最值等.2.题目难度：三角函数的大题一般在解答题的第一个题，和数列问题交替考查，中低档难度.

考点一　三角函数的单调性、最值问题
方法技巧　类比y＝sin x的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的单调区间，注意ω的符号；利用函数y＝Asin t的图象可求得函数的最值(值域).
1.(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R).
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得f ＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得，
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得，
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
2.已知向量a＝(1，sin x)，b＝，函数f(x)＝a·b－cos 2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.
解　(1)函数f(x)＝a·b－cos 2x＝cos＋sin2x－cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋－cos 2x＝－＝－sin，
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时，2x＋∈，
因此sin∈，
所以当x∈时，函数f(x)的值域是.
3.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)当x∈时，求f(x)的最大值和最小值及相应的x的值.
解　(1)∵当x∈时，≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
又∵a＞0，－5≤f(x)≤1，∴解得
(2)由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin－1，
∴当x∈时，≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－5；
当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值－3.
考点二　三角函数的图象及应用
要点重组　三角函数图象的对称问题
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
(2)y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
(3)y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为(k∈Z).
方法技巧　(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往寻找“五点法”中的某一个点作为突破口.
4.(2018·宁夏银川一中期中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝m在上有两个不同的实根，求m的取值范围.
解　(1)由图可知A＝1， ＝·＝－，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由(1)及图知，方程f(x)＝sin＝m在上有两个不同的实根，
可得直线y＝m和f(x)的图象在上有两个不同的交点.
由于f(x)在，上单调递减，在上单调递增，
f ＝，f ＝0，
∴m∈∪.
5.某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0

且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知，f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z，
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
6.(2018·宜宾期末)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝2两相邻交点之间的距离为π，且图象关于x＝对称.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间以及满足g(x)≥的x的取值范围.
解　(1)由已知可得T＝π，＝π，∴ω＝2，
又f(x)的图象关于x＝对称，
∴2·＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ－，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin.
(2)由(1)可得f(x)＝2sin，
∴g(x)＝2sin，
∴由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
∵2sin≥，
∴sin≥，
∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴x的取值范围是.
考点三　三角函数图象与性质的综合应用
方法技巧　求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，解y＝Asin t，通过研究复合函数的性质求解目标.
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质.
7.(2017·山东)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f ＝0.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.
解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx
＝＝sin.
由题设知，f ＝0，
所以－＝kπ，k∈Z，
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点.若OQ＝4，OP＝，PQ＝.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域.
解　(1)在△OPQ中，cos∠POQ＝＝＝，
所以sin∠POQ＝＝，
所以P(1，2)，所以A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，
又＝12，则ω＝.
将点P(1，2)代入f(x)＝2sin，
得sin＝1，
因为0＜φ＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)由题意，可得g(x)＝2sin.
所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin＝2sin2＋2sin·cos
＝1－cos＋sin＝1＋2sin.
当x∈[0，3]时，x－∈，
所以sin∈，所以函数h(x)的值域为[0，3].
9.已知向量a＝(2cos x，sin x)，b＝(cos x，2cos x)，函数f(x)＝a·b＋m(m∈R)，且当x∈时，f(x)的最小值为2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上的所有根之和.
解　f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋m＝cos 2x＋sin 2x＋m＋1＝2＋m＋1＝2sin＋m＋1.
因为当x∈时，2x＋∈，
所以当x＝时，f(x)取得最小值－1＋m＋1＝2，
所以m＝2，所以f(x)＝2sin＋3.
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数图象对应的解析式为y＝2sin＋3，再把所得的图象向右平移个单位长度，得函数图象对应的解析式为g(x)＝2sin＋3.
由g(x)＝4，得sin＝，
解得4x－＝2kπ＋(k∈Z)或4x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝＋(k∈Z)或x＝＋(k∈Z).
因为x∈，
所以x＝或，
故所求所有根之和为＋＝.


典例　(12分)已知m＝(cos ωx，cos(ωx＋π))，n＝(sin ωx，cos ωx)，其中ω>0，f(x)＝m·n，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若f ＝－，α∈，求cos α的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间.
审题路线图
(1)
(2)
规范解答·评分标准
解　f(x)＝m·n＝cos ωxsin ωx＋cos(ωx＋π)cos ωx
＝cos ωxsin ωx－cos ωxcos ωx
＝－＝sin－.
……………………………………………………………………………………………3分
∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，
∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－.…………………………………………4分
(1)f ＝sin－＝－，
∴sin＝，
∵α∈，
∴α－∈，
又sin＝，
∴cos＝.………………………………………………………………………6分
∴cos α＝cos＝coscos －sinsin
＝×－×＝.…………………………………………………………8分
(2)f(x)经过变换可得g(x)＝sin－，…………………………………………10分
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间是，k∈Z.
…………………………………………………………………………………………12分
构建答题模板
[第一步]　化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式.
[第二步]　整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体，研究三角函数性质.
[第三步]　回顾反思：查看角的范围对函数影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化.

1.(2018·北京理工大学附中月考)已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)如果点P是角α终边上一点，求f(α)的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋sin x，当x∈时，求g(x)的最大值.
解　(1)f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋cos x.
∵P是角α终边上一点，
∴sin α＝，cos α＝，
∴f(α)＝sin α＋cos α＝×＋×＝.
(2)g(x)＝f(x)＋sin x＝sin x＋cos x，
根据辅助角公式可得g(x)＝sin，
∵x∈，
∴x＋∈，
故当x＋＝，
即x＝时，g(x)有最大值.
2.(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.
解　(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，
得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
3.(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－
＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，
则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
4.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β，
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α－β)＝－1.
(1)解　将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos的图象，
故f(x)＝2cos＝2sin x.
从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
(2)①解　f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
依题意知，若sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).
②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，
所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝ .
当0≤m＜时，α＋β＝2，
即α－β＝π－2(β＋φ)；
当－＜m＜0时，α＋β＝2，
即α－β＝3π－2(β＋φ)，
所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝22－1＝－1.