2019届二轮复习规范答题示例4 概率与统计的综合问题学案（全国通用）
展开规范答题示例4 概率与统计的综合问题
典例4 (12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 | A | B | C |
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
审题路线图 →
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规 范 解 答·分 步 得 分 | 构 建 答 题 模 板 |
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，2分 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×＝1,150×＝3,100×＝2. 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.5分 (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.8分 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有 {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.10分 所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.12分 | 第一步 定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型. 第二步 列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图). 第三步 算概率：计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P(A)＝. 第四步 规范答：回到所求问题，规范作答. |
评分细则 (1)各层抽样数量每个算对给1分；
(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；
(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；
(4)最后没下结论的扣1分．
跟踪演练4 (2018·全国Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 | [0,0.1) | [0.1，0.2) | [0.2，0.3) | [0.3，0.4) | [0.4，0.5) | [0.5，0.6) | [0.6，0.7) |
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 | [0,0.1) | [0.1，0.2) | [0.2，0.3) | [0.3，0.4) | [0.4，0.5) | [0.5，0.6) |
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
解 (1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为
2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
