2019届二轮复习规范答题示例5 空间中的平行与垂直关系学案（全国通用）
展开规范答题示例5 空间中的平行与垂直关系
典例5 (12分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图 (1)
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(2)―→
规 范 解 答·分 步 得 分 | 构 建 答 题 模 板 |
证明 (1)取PD的中点M，连接FM，AM. ∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点， ∴FM∥CD且FM＝CD. ∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD， ∴AE∥FM且AE＝FM， ∴四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，4分 ∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD， ∴EF∥平面PAD.6分 (2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD， 侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD， ∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA. ∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点， ∴Rt△ABH≌Rt△DAE， 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，8分 ∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH， ∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.12分 | 第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. 第二步 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. 第四步 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤. |
评分细则 (1)第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；
(2)第(2)问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC的中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．
跟踪演练5 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
(1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，
则QE∥DC且QE＝DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×S△ABP×QE
＝××3×2sin 45°×1＝1.
