2019届二轮复习规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用）

规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系典例6　(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.①求的值；②求△ABQ面积的最大值．审题路线图　(1)―→(2)①―→②―→―→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解　(1)由题意知＋＝1.又＝，解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.2分(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0).因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.5分②设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*)则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.8分设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)由(*)(**)可知0<t≤1，因此S＝2＝2，故0<S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.12分第一步求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式.第三步找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.第四步建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.第五步得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件. 评分细则　(1)第(1)问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练6　(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.(1)解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.(2)证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由得ky2－2y－4k＝0，显然方程有两个不等实根．所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.