2019届二轮复习规范答题示例3 数列的通项与求和问题学案（全国通用）
展开规范答题示例3 数列的通项与求和问题
典例3 (12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数(i，j∈N*)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
… … … … …
an1 an2 an3 … ann
(1)求an1和a4n；
(2)设bn＝＋(－1)n·an1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
审题路线图 ―→
规 范 解 答·分 步 得 分 | 构 建 答 题 模 板 |
解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a31＋a61＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1， ∴an1＝a11＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)，3分 ∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31·q4＝3q4＝48， ∵q>0，∴q＝2，又∵a41＝4， ∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1(n∈N*).6分 (2)∵bn＝＋(－1)nan1＝＋(－1)n·n7分 ＝＋(－1)n·n＝－＋(－1)n·n， ∴Sn＝＋＋＋…＋＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)nn]，10分 当n为偶数时，Sn＝1－＋，11分 当n为奇数时，Sn＝1－＋－n ＝1－－＝－.12分 | 第一步 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系. 第二步 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式. 第三步 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等). 第四步 写步骤. 第五步 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果. |
评分细则 (1)求出d给1分，求an1时写出公式结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；
(2)bn写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；
(3)缺少对bn的变形直接计算Sn，只要结论正确不扣分；
(4)当n为奇数时，求Sn中间过程缺一步不扣分．
跟踪演练3 (2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解 (1)由条件可得an＋1＝an，
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，
所以an＝n·2n－1.
