2019届二轮复习基础回扣(五)　立体几何学案（全国通用）

基础回扣(五)　立体几何

 [要点回扣]

1．空间几何体的三视图

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．

[对点专练1]　若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　　)

[答案]　A

2．斜二测画法

在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

[对点专练2]　如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．

[答案]　2

3．计算空间几何体的表面积和体积

(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；

(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换．

[对点专练3]　如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)

A．4π　　　　B．3π　　　　C．2π　　　　D.π

[答案]　D

4．与球有关的切接问题

长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2；棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.

[对点专练4]　已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

[答案]　

5．空间直线、平面的位置关系

不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．

[对点专练5]　已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的________条件．

[答案]　充分不必要

6．用平移法求异面直线所成的角

平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；利用异面直线所在几何体的特点，补形平移．计算异面直线所成的角通常在三角形中进行．

[对点专练6]　三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　C

7．求点到平面的距离

(1)直接法．

(2)等体积转化法．

[对点专练7]　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A．3   B. 

C．1   D.

[答案]　C

[易错盘点]

易错点1　三视图认识不清致误

【例1】　已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．

[错解]　

[错因分析]　没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．

[正解]　如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥平面ABCD且SE＝20.

∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝；

∴这个几何体的体积是.

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．

 [对点专练1]　

(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)

A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D.

(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为________．

[解析]　(1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴所求体积V＝V柱－V锥＝×2－××2＝，故选A.

(2)依题意，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD，其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，该几何体最长棱长的值为2.

[答案]　(1)A　(2)2

易错点2　线面关系定理条件使用不当致误

【例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)求证：EF⊥B1C.

[错解]　证明：(1)连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，

∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1.

(2)∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1.

∴EF⊥AC.同理EF⊥AB1.

∴EF⊥平面AB1C.

∴EF⊥B1C.

[错因分析]　推理论证不严谨，思路不清晰．

[正解]　证明：(1)连接BD1，如图所示，

在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1B.

∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，

∴EF∥平面ABC1D1.

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB⊥面BCC1B1，∴B1C⊥AB.

又∵B1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，

∴B1C⊥平面ABC1D1，

∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.

∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C.

证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．

[对点专练2]　

(1)下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，过α内任意一点作l的垂线m，则m⊥β

(2)已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，l⊂α，则l∥β；

③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

[解析]　(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ，A正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内平行于交线的直线平行平面β，B正确；如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，C正确；若此点在直线l上，则不能推出m⊥β，D错误，故选D.

(2)因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确，故选C.

[答案]　(1)D　(2)C