2019届二轮复习回扣五立体几何学案（全国通用）
展开回扣五立体几何
环节一 记牢概念公式，避免临场卡壳
1．几何体的侧面积与体积
(1)直棱柱的侧面积：S侧＝cl(c是底面周长，l为侧棱长)．
正棱锥的侧面积：S侧＝ch′(c是底面周长，h′为斜高)．
正棱台的侧面积：S侧＝(c＋c′)h′(c，c′分别是上、下底面周长，h′为斜高)．
圆柱的侧面积：S侧＝cl＝2πrl(c是底面周长，l为母线长)．
圆锥的侧面积：S侧＝cl＝πrl(c是底面周长，l为母线长)．
圆台的侧面积：S侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l(c，c′分别是上、下底面周长，l为母线长)．
球的表面积：S＝4πR2(R为球的半径)．
(2)柱体的体积：V柱＝Sh(S为底面积，h是柱体的高)．
锥体的体积：V锥＝Sh(S为底面积，h是锥体的高)．
球的体积：V球＝πR3＝S表R(R为球的半径)．
2．空间位置关系的证明方法
(1)线线平行：⇒a∥b，⇒a∥b，⇒a∥b，⇒c∥b.
(2)线面平行：⇒a∥α，⇒a∥α，a∥α.
(3)面面平行：⇒α∥β，⇒α∥β，⇒α∥γ.
(4)线线垂直：⇒a⊥b.
(5)线面垂直：⇒l⊥α，⇒a⊥β，⇒a⊥β，⇒b⊥α.
(6)面面垂直：⇒α⊥β，⇒α⊥β.
环节二 巧用解题结论，考场快速抢分
球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．
用向量求空间中角的公式
(1)直线l1，l2夹角θ有cos θ＝ cos〈l1，l2〉 ；
(2)直线l与平面α的夹角θ有：
sin θ＝ cos〈l，n〉 (其中n是平面α的法向量)；
(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝ cos〈n1，n2〉 ，则αlβ二面角的平面角为θ或π－θ.(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
环节三 明辨易错易混，警惕命题陷阱
(1)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面面积．
(2)球的简单组合体中几何体度量之间的关系不清，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为a、、a.
(3)锥体体积公式为V＝Sh，在求解锥体体积时，不能漏掉.
(4)在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
(5)空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理不能熟练把握，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
环节四 适当保温训练，树立必胜信念
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β
C．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α
D．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β
解析：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n平行、垂直、相交都有可能，A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β，B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，C错误；若m⊂α，n⊂β，且m∥n，则α与β平行或相交，D错误．选B.
答案：B
2．已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．p∨(綈q) D．(綈p)∧q
解析：命题p中，m，n可能平行，还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题，所以綈p和綈q都为真命题，故p∨(綈q)为真命题，选C.
答案：C
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示，且EA⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，则FD＝4，AE＝2，AD＝DC＝4，FD∥EA，所以点F和点D到平面AEB的距离相等，且为4，故VFAEB＝·S△BAE·AD＝××4×2×4＝，VFABCD＝·S四边形ABCD·FD＝×4×4×4＝，则该几何体的体积为＋＝.
答案：B
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60˚的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
解析：该几何体是表面为全等三角形的八面体，设俯视图中正方形的边长为a，则a2＝，解得a＝1，可得该八面体中有一个面的高为()2＋()2＝1.所以该八面体的表面积是8××1×1＝4.
答案：C
5．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为( )
A．5π B. π
C．10 π D．34 π
解析：依题意，在三棱锥BACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，因此可将三棱锥BACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3、3、4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥BACD的外接球的表面积为4πR2＝34π.
答案：D
6．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行；
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.
答案：B
7．如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90˚，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)求二面角PADB的余弦值．
解析：(1)证明：取BC的中点O，连接PO，∵△PBC是等边三角形，∴PO⊥BC.
由侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD＝BC，得PO⊥底面ABCD.
以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点O且与AB平行的直线为y轴，OP所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxy .
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝(－2，－1,0)·(1，－2，－)＝0，
∴⊥，即BD⊥PA.
(2)由(1)知＝(－2,1,0)，＝(1，－2，－)，
设平面PAD的法向量为n1＝(x，y， )，则，即.
令x＝1，则y＝2， ＝－，∴n1＝(1,2，－)为平面PAD的一个法向量．
又平面BAD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
又二面角PADB是锐角，
∴二面角PADB的余弦值为.
8．(2018·南宁模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝3，PM＝2MD，AN＝2NB，∠DAB＝60˚.
(1)求证：直线AM∥平面PNC；
(2)求二面角DPCN的余弦值．
解析：(1)证明：如图，在PC上取一点F，使PF＝2FC，连接MF，NF，
∵PM＝2MD，AN＝2NB，PF＝2FC，
∴MF∥DC，MF＝DC，AN∥DC，AN＝AB＝DC，
∴MF∥AN，MF＝AN，
∴四边形MFNA为平行四边形．
∴AM∥FN.又FN⊂平面PNC，AM⊄平面PNC，
∴直线AM∥平面PNC.
(2)取AB中点E，连接DE，PE，∵底面ABCD是菱形，∠DAB＝60˚，∴∠AED＝90˚.∵AB∥CD，∴∠EDC＝90˚，即CD⊥DE.
又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD.
又DE∩PD＝D，∴CD⊥平面PDE.
故DP，DE，DC两两相互垂直，以D为原点，分别以DE，DC，DP所在直线为x轴，y轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0,3)，N(，，0)，C(0,3,0)，A(，－，0)，B(，，0)，D(0,0,0)，＝(0,3，－3)，＝(－，，0)，
易知平面PDC的一个法向量m＝(1,0,0)．
设平面PNC的法向量n＝(x1，y1， 1)，
由得取n＝(5,3，3)．
∴cos〈m，n〉＝＝＝.
故二面角DPCN的余弦值为.
