2019届二轮复习函数的图象学案（全国通用）

2019届二轮复习   函数的图象  学案 （全国通用）

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．

1．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

2．图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)；

②y＝f(x)y＝f(－x)；

③y＝f(x)y＝－f(－x)；

④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．

⑤y＝f(x)y＝|f(x)|.

⑥y＝f(x)y＝f(|x|)．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)

y＝f(ax)．

②y＝f(x)

y＝af(x)．

【必会结论】

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．

高频考点一　作函数的图象

例1、作出下列函数的图象：

(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|； ]

(3)y＝；  (4)y＝x2－2|x|－1.

解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.学！ 

(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.

【方法规律】画函数图象的一般方法

(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

【变式探究】作出下列函数的图象：

(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.

解　(1)函数式可化为y＝

其图象如图实线所示．

第(1)题图　　　　　第(2)题图

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．

(3)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．

第(3)题图　　　　　　第(4)题图

(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图．

高频考点二　识图与辨图

例2、[2017·全国卷Ⅲ]函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

答案　D

解析　当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.

当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.     

故选D.

 【变式探究】(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)

(2) (2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析　(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，

又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B.   ]

设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.

又g′(0)＜0，g′(2)＞0，

∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，

∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.

【方法规律】函数图象的识辨

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

【变式探究】(1)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　　)

(2)已知a是常数，函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－ax＋2的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图象可能是(　　)

解析　(1)y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，且过点(0，0)，(1，1)，只有选项B满足．

高频考点三　函数图象的应用

例3、(1)若方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是．学 ！

(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)

A．(1,2015)   B．(1,2016)

C．[2,2 016] D．(2,2016)

答案　(1)(1，)　(2)D

解析　(1)方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：

易知－<1－a<0，∴1<a<.

(2)作出函数的图象，直线y＝m交函数图象如图，不妨设a<b<c，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，当直线y＝m＝1时，由log2015x＝1，解得x＝2015.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a，b，c互不相等，由a<b<c可得1<c<2015，因此可得2<a＋b＋c<2016，即a＋b＋c∈(2,2016)．故选D.

【感悟提升】(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．

【变式探究】　已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是        ．

解析　

由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1

作出函数y＝f(x)的图象．

由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．

因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．

答案　5

高频考点四  函数图象中的数形结合思想

例4、已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是        ．

解析　函数y＝的定义域为{x|x≠1}，所以当x>1时，y＝x＋1，当－1<x<1时，y＝－x－1，当x≤－1时，y＝x＋1，图象如图所示，

由图象可知当0<k<2且k≠1时两函数恰有两个交点，所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．

答案　(0,1)∪(1,2)

【变式探究】已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.  C．(1,2)  D．(2，＋∞)

答案　B

解析　由已知，函数f(x)＝|x－2|＋1与g(x)＝kx的图象有两个公共点，画图可知当直线介于l1：y＝x，l2：y＝x之间时，符合题意．故选B.

1. （2018年全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为

A. A    B. B    C. C    D. D

【答案】D

【解析】当时，，排除A,B.

,当时，,排除C，故正确答案选D。

2. （2018年浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是

A.     B.

C.     D.

【答案】D

【解析】令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.

3. （2018年全国Ⅱ卷理数）函数的图像大致为

A. A    B. B    C. C    D. D

【答案】B

【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

1、[2017·全国卷Ⅲ]函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

答案　D

解析　当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.

当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.

故选D.

1.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D

2.【2016年高考北京理数】设函数.

①若，则的最大值为              ；

②若无最大值，则实数的取值范围是        .

【答案】，.

【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，

①当时，，由图象可知的最大值是；

②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．

3.【2016高考山东理数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是                .

【答案】

【解析】画出函数图象如下图所示：

由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。

【2015高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（   ）

   （A），，                 （B），，

   （C），，                 （D），，

【答案】C

【解析】由及图象可知，，，则；当时，，所以；当，，所以，所以.故，，，选C.

【2015高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）

【答案】B

【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即时，，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．

（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)

　     A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D

【答案】B　【解析】 由函数y＝logax的图像过点(3， 1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．

（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)

A.  B.     ]

C.  D.

【答案】B　【解析】 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；

当a2<x<2a2时，

f(x)＝＝－a2；

当x≥2a2时，

f(x)＝＝x－3a2.

综上，f(x)＝

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，

观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.

（2014·山东卷）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)   ]

A.   B.   C. (1，2)  D. (2，＋∞)

【答案】B　【解析】 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k＞，且k＜1.故选B.

（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)

　 　　A　　　　　　　　　　　　B

　 　　C　　　　　　　　　　　　D

图1­2

【答案】D　【解析】 只有选项D符合，此时0<a<1，幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x∈(0，1)时，f(x)的图像在直线y＝x的上方，对数函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选D.

（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)

图1－3

图1－4

【答案】D　【解析】 设l，l2距离为t，cos x＝2t2－1，得t＝.△ABC的边长为，＝，得BE＝(1－t)，则y＝2BE＋BC＝2×(1－t)＋＝2－，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x＝的情况可知选D.

（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)

A．x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

【答案】C