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2019届二轮复习基础回扣(二) 函数与导数学案（全国通用）
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基础回扣(二) 函数与导数
[要点回扣]
1．函数的定义域
求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
[对点专练1] 函数y＝的定义域是 ．
[答案]
2．换元法注意问题
用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[对点专练2] 已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝ .
[答案] 1－x2(x∈[－1,1])
3．分段函数
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[对点专练3] 已知函数f(x)＝
则f＝ .
[答案]
4．函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
[对点专练4] f(x)＝是 函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
[答案] 奇
5．函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[对点专练5] 若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ .
[答案] 1
6．函数的单调区间
求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[对点专练6] 函数f(x)＝的减区间为 ．
[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)
7．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[对点专练7] 函数y＝|log2|x－1 的递增区间是 ．
[答案] [0,1)，[2，＋∞)
8．函数的周期性
(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；
(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.
[对点专练8] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2
[答案] －
9．一元二次方程实根分布
先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[对点专练9] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为 ．
[答案]
10．函数的图象
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[对点专练10] 函数y＝loga|x|的增区间为 ．
[答案] 当a>1时，(0，＋∞)；当0
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[对点专练11] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
12．求导数的方法
(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[对点专练12] f(x)＝，则f′(x)＝ .
[答案]
13．利用导数判断函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[对点专练13] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是 ．
[答案] a≥
14．函数的极值
导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[对点专练14] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是 ．
[答案] x＝1
15．定积分
运用微积分基本定理求定积分f(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数．
[对点专练15] 计算定积分(x2＋sinx)dx＝ .
[答案]
[易错盘点]
易错点1 函数概念不清致误
【例1】 已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为 ．
[错解] 由>0，得x>2或x<－2.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
[错因分析] 没有得分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．
[正解] 由f(x2－3)＝lg，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg.
∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.
∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式．
[对点专练1]
(1)设函数f(x)＝若f[f(a)]＝－，则实数a＝( )
A．4 B．－2
C．4或－ D．4或－2
(2)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f(2)的值为 ．
[解析] (1)当a＝4时， f[f(a)]＝f(1)＝－，符合题意，排除B；当a＝－2时， f[f(a)]＝f＝－2，不符合题意，排除D；当a＝－时，f[f(a)]＝f(－2)＝－，符合题意，排除A，故选C.
(2)由g(x)＝1－2x＝2，得x＝－.
故f(2)＝＝3.
[答案] (1)C (2)3
易错点2 忽视函数的定义域致误
【例2】 函数y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为 ．
[错解] 令U＝x2－5x＋6，则U＝x2－5x＋6在上是减函数，∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间是.
[错因分析] 忽视了函数定义域，应加上条件x2－5x＋6>0.
[正解] 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．
令u＝x2－5x＋6，
则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，
∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为
(－∞，2)．
在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．
[对点专练2]
(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围是( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝，则f(ln3)＝ .
[解析] (1)令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，由题意可知，，即，解得1≤a<2，故选A.
(2)f(ln3)＝f(ln3＋1)＝eln3＋1＝e，故填e.
[答案] (1)A (2)e
易错点3 忽视二次项系数为0致误
【例3】 函数f(x)＝(k－1)x2＋2(k＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是 ．
[错解] 由题意知Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0.
即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.
∴k的取值集合是{－3,0}．
[错因分析] 未考虑k－1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．
[正解] 当k＝1时，f(x)＝4x－1，其图象与x轴只有一个交点.
当k≠1时，由题意得Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0，
即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.
∴k的取值集合是{－3,0,1}．
对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．
[对点专练3]
(1)函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是 ．
(2)不等式2kx2＋kx－<0，对一切实数x恒成立，则k的取值范围是 ．
[解析] (1)当m＝0时，x＝为函数的零点．当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点；若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即<0，即m<0.综上，m∈(－∞，0]∪{1}．
(2)当k＝0时，适合题意；由即
得－3
易错点4 混淆“切点”致误
【例4】 过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程为 ．
[错解] ∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1.
∴切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
[错因分析] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．
[正解] 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x－2.
∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，
或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
[对点专练4]
(1)曲线y＝x＋2cosx在点(0,2)处的切线方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝2x＋2 D．y＝－2x＋2
(2)过曲线y＝ln(x＋1)上的点(0,0)的切线方程为 ．
[解析] (1)由题意得y′＝1－2sinx，把x＝0代入得y′＝1，即切线方程的斜率k＝1，所以所求的切线方程为y－2＝x－0，即y＝x＋2，故选A.
(2)设切点P(x0，y0)，∵y′＝，∴切线方程为y－ln(x0＋1)＝(x－x0)．
∵切线过点(0,0)点，∴－ln(x0＋1)＝，解得x0＝0，∴切线方程为y＝x，即x－y＝0.
[答案] (1)A (2)x－y＝0
易错点5 极值概念不清致误
【例5】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝ .
[错解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得即解得
或故a＋b＝－7或a＋b＝0，故填－7或0.
[错因分析] 忽视了条件的等价性，“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．
[正解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0且在x0点两侧导数异号，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．
[对点专练5]
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，那么下列说法正确的是( )
A．若f ′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点
B．若x0是函数f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导则f ′(x0)＝0
C．若x0是函数f(x)的极值点，则f ′(x0)可能不存在
D．若f ′(x0)＝0无实根，则函数f(x)必无极值点
(2)f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为 ．
[解析] (1)A项中若f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故A错误；x0是极值点，f ′(x)存在，则f ′(x0)＝0，故B正确、C错误；若f(x)＝，则f ′(x)＝0无实根，但f(x)有极小值点，故D错误．综上，故选B.
(2)f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<或x>2，f′(x)<0⇒
[答案] (1)B (2)6
易错点6 导数与函数单调性关系不清致误
【例6】 函数f(x)＝x3－ax2－3x在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
[错解] f′(x)＝3x2－2ax－3，由题意可知，
f′(x)>0，即a<(x≥2)恒成立，
又≥，故a<，所以a的取值范围是.
[错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．
[正解] 由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－3，
令f′(x)≥0(x≥2)恒成立，得a≤(x≥2)恒成立．
记t(x)＝，当x≥2时，t(x)是增函数，
所以t(x)min＝×＝，所以a∈.
经检验，当a＝时，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
由单调性求参数范围时，要用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则易漏解．
[对点专练6]
(1)若函数f(x)＝alnx－x在区间(0,2)上单调递增，则有( )
A．a＝2 B．a≤2
C．0
A．3f(ln2)>2f(ln3)
B．3f(ln2)＝2f(ln3)
C．3f(ln2)<2f(ln3)
D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
[解析] (1)由于f′(x)＝－1，故据题意可得x∈(0,2)时f′(x)＝－1≥0恒成立，即a≥x恒成立，故只需a≥2，选D.
(2)令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，又ln2g(ln3)，即>，即3f(ln2)>2f(ln3)，故选A.
[答案] (1)D (2)A
易错点7 定积分与面积转化不清致误
【例7】 曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积为 ．
[错解] 分两部分，在[0，π]上有sinxdx＝2，在[π，2π]上有sinxdx＝－2，因此所求面积S＝2＋(－2)＝0.
[错因分析] 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．
[正解] S＝sinxdx＋＝2＋2＝4.
在x轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数．
[对点专练7]
(1)函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ．
(2)直线y＝x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于 ．
[解析] (1)所求面积S＝ (x＋2)dx＋2cosxdx＝
[答案] (1)4 (2)
[要点回扣]
1．函数的定义域
求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
[对点专练1] 函数y＝的定义域是 ．
[答案]
2．换元法注意问题
用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[对点专练2] 已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝ .
[答案] 1－x2(x∈[－1,1])
3．分段函数
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[对点专练3] 已知函数f(x)＝
则f＝ .
[答案]
4．函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
[对点专练4] f(x)＝是 函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
[答案] 奇
5．函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[对点专练5] 若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ .
[答案] 1
6．函数的单调区间
求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[对点专练6] 函数f(x)＝的减区间为 ．
[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)
7．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[对点专练7] 函数y＝|log2|x－1 的递增区间是 ．
[答案] [0,1)，[2，＋∞)
8．函数的周期性
(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；
(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.
[对点专练8] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2
[答案] －
9．一元二次方程实根分布
先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[对点专练9] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为 ．
[答案]
10．函数的图象
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[对点专练10] 函数y＝loga|x|的增区间为 ．
[答案] 当a>1时，(0，＋∞)；当0
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[对点专练11] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
12．求导数的方法
(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[对点专练12] f(x)＝，则f′(x)＝ .
[答案]
13．利用导数判断函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[对点专练13] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是 ．
[答案] a≥
14．函数的极值
导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[对点专练14] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是 ．
[答案] x＝1
15．定积分
运用微积分基本定理求定积分f(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数．
[对点专练15] 计算定积分(x2＋sinx)dx＝ .
[答案]
[易错盘点]
易错点1 函数概念不清致误
【例1】 已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为 ．
[错解] 由>0，得x>2或x<－2.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
[错因分析] 没有得分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．
[正解] 由f(x2－3)＝lg，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lg.
∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.
∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式．
[对点专练1]
(1)设函数f(x)＝若f[f(a)]＝－，则实数a＝( )
A．4 B．－2
C．4或－ D．4或－2
(2)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f(2)的值为 ．
[解析] (1)当a＝4时， f[f(a)]＝f(1)＝－，符合题意，排除B；当a＝－2时， f[f(a)]＝f＝－2，不符合题意，排除D；当a＝－时，f[f(a)]＝f(－2)＝－，符合题意，排除A，故选C.
(2)由g(x)＝1－2x＝2，得x＝－.
故f(2)＝＝3.
[答案] (1)C (2)3
易错点2 忽视函数的定义域致误
【例2】 函数y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为 ．
[错解] 令U＝x2－5x＋6，则U＝x2－5x＋6在上是减函数，∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间是.
[错因分析] 忽视了函数定义域，应加上条件x2－5x＋6>0.
[正解] 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．
令u＝x2－5x＋6，
则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，
∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为
(－∞，2)．
在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．
[对点专练2]
(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围是( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝，则f(ln3)＝ .
[解析] (1)令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，由题意可知，，即，解得1≤a<2，故选A.
(2)f(ln3)＝f(ln3＋1)＝eln3＋1＝e，故填e.
[答案] (1)A (2)e
易错点3 忽视二次项系数为0致误
【例3】 函数f(x)＝(k－1)x2＋2(k＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是 ．
[错解] 由题意知Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0.
即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.
∴k的取值集合是{－3,0}．
[错因分析] 未考虑k－1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．
[正解] 当k＝1时，f(x)＝4x－1，其图象与x轴只有一个交点.
当k≠1时，由题意得Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0，
即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.
∴k的取值集合是{－3,0,1}．
对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．
[对点专练3]
(1)函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是 ．
(2)不等式2kx2＋kx－<0，对一切实数x恒成立，则k的取值范围是 ．
[解析] (1)当m＝0时，x＝为函数的零点．当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点；若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即<0，即m<0.综上，m∈(－∞，0]∪{1}．
(2)当k＝0时，适合题意；由即
得－3
易错点4 混淆“切点”致误
【例4】 过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程为 ．
[错解] ∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1.
∴切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
[错因分析] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．
[正解] 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x－2.
∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，
或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
[对点专练4]
(1)曲线y＝x＋2cosx在点(0,2)处的切线方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝2x＋2 D．y＝－2x＋2
(2)过曲线y＝ln(x＋1)上的点(0,0)的切线方程为 ．
[解析] (1)由题意得y′＝1－2sinx，把x＝0代入得y′＝1，即切线方程的斜率k＝1，所以所求的切线方程为y－2＝x－0，即y＝x＋2，故选A.
(2)设切点P(x0，y0)，∵y′＝，∴切线方程为y－ln(x0＋1)＝(x－x0)．
∵切线过点(0,0)点，∴－ln(x0＋1)＝，解得x0＝0，∴切线方程为y＝x，即x－y＝0.
[答案] (1)A (2)x－y＝0
易错点5 极值概念不清致误
【例5】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝ .
[错解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得即解得
或故a＋b＝－7或a＋b＝0，故填－7或0.
[错因分析] 忽视了条件的等价性，“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．
[正解] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0且在x0点两侧导数异号，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．
[对点专练5]
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，那么下列说法正确的是( )
A．若f ′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点
B．若x0是函数f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导则f ′(x0)＝0
C．若x0是函数f(x)的极值点，则f ′(x0)可能不存在
D．若f ′(x0)＝0无实根，则函数f(x)必无极值点
(2)f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为 ．
[解析] (1)A项中若f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故A错误；x0是极值点，f ′(x)存在，则f ′(x0)＝0，故B正确、C错误；若f(x)＝，则f ′(x)＝0无实根，但f(x)有极小值点，故D错误．综上，故选B.
(2)f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<或x>2，f′(x)<0⇒
[答案] (1)B (2)6
易错点6 导数与函数单调性关系不清致误
【例6】 函数f(x)＝x3－ax2－3x在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
[错解] f′(x)＝3x2－2ax－3，由题意可知，
f′(x)>0，即a<(x≥2)恒成立，
又≥，故a<，所以a的取值范围是.
[错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．
[正解] 由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－3，
令f′(x)≥0(x≥2)恒成立，得a≤(x≥2)恒成立．
记t(x)＝，当x≥2时，t(x)是增函数，
所以t(x)min＝×＝，所以a∈.
经检验，当a＝时，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
由单调性求参数范围时，要用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则易漏解．
[对点专练6]
(1)若函数f(x)＝alnx－x在区间(0,2)上单调递增，则有( )
A．a＝2 B．a≤2
C．0
A．3f(ln2)>2f(ln3)
B．3f(ln2)＝2f(ln3)
C．3f(ln2)<2f(ln3)
D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
[解析] (1)由于f′(x)＝－1，故据题意可得x∈(0,2)时f′(x)＝－1≥0恒成立，即a≥x恒成立，故只需a≥2，选D.
(2)令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，又ln2
[答案] (1)D (2)A
易错点7 定积分与面积转化不清致误
【例7】 曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积为 ．
[错解] 分两部分，在[0，π]上有sinxdx＝2，在[π，2π]上有sinxdx＝－2，因此所求面积S＝2＋(－2)＝0.
[错因分析] 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．
[正解] S＝sinxdx＋＝2＋2＝4.
在x轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数．
[对点专练7]
(1)函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ．
(2)直线y＝x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于 ．
[解析] (1)所求面积S＝ (x＋2)dx＋2cosxdx＝
[答案] (1)4 (2)
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