2019届二轮复习函数与方程学案（全国通用）
展开一、知识要点：
1、函数奇偶性的概念
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
理解：
(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象：
奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）
④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
5、判断函数奇偶性的方法：
⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数；
对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或 函数f（x）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称；
②、比较与的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，
⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若为偶函数，则。
核心能力必练
一、选择题
1.下列函数中是奇函数的是 ( )
A．f(x)＝x2＋3 B．f(x)＝1－x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋1
【答案】C
2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋，则f(－1)＝ ( ) ]
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2. ]
3. 已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与直线有4个交点，则方程的所有实根之和是 ( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
4. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－3x，则函数f(x)在R上的解析式是 ( )
A．f(x)＝－x(2x－3) B．f(x)＝x(2|x|－3)
C．f(x)＝|x|(2x－3) D．f(x)＝|x|(2|x|－3)
【答案】D
【解析】∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝2x2－3x，
∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝2(－x)2＋3x＝2x2＋3x，
则f(x)＝f(－x)＝2x2＋3x＝－x(－2x－3)．
又当x≥0时，f(x)＝2x2－3x＝x(2x－3)，因此f(x)＝|x|(2|x|－3)．
5．下面四个说法：①奇函数的图象关于坐标原点对称；②某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．其中正确说法的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据奇函数性质知其图象一定关于坐标原点对称，故①正确；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故②正确；
函数y＝是奇函数，但其图象不过原点，故③错；
函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故④错．故正确的有2个.
6．设奇函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 ( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)
【答案】B
【解析】∵f(x)是奇函数，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在R上为增函数，
又∵，
∴f(π)>f(－2)>f(－3). ]
7. 已知f(x)＝2x5＋ax3＋bx－3，若f(－4)＝10，则f(4)＝( )
A．16 B．－10 C．10 D．－16
【答案】D
8．已知f(x)是定义在[m，n]上的奇函数，且f(x)在[m，n]上的最大值为a，则函数F(x)＝f(x)＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 ( )
A．2a＋3 B．2a＋6 C．6－2a D．6
【答案】D
【解析】因为奇函数f(x)在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F(x)＝f(x)＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6，故选D.
二、填空题
9．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝ .
【答案】
【解析】解法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即
＝，得a＝.
解法二：由f(－1)＝－f(1)，可得a＝.
10．若函数f(x)＝(2k－3)x2＋(k－2)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是 ．
【答案】
【解析】因为f(x)是偶函数，所以k－2＝0，即k＝2.
∴f(x)＝x2＋3，则f(x)的图象是开口向上的抛物线．
∴f(x)的递增区间为．
11．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为 ．
【答案】
三、解答题
12. 已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，且当x0时，f(x)＝3x－2，求函数f(x)的解析式．
【答案】见解析
【解析】当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝3(－x)－2＝－3x－2.
又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－3x－2.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
13. 判定下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
【答案】（1）非奇非偶函数，（2）既是奇函数又是偶函数，
（3）奇函数，（4）偶函数
14. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x2＋4x＋3.
(1)求f(x)的表达式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．
【答案】见解析
【解析】(1)设x＜0，则－x＞0， ]
于是f(－x)＝－2(－x)2－4x＋3＝－2x2－4x＋3.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
因此f(x)＝2x2＋4x－3.
又∵f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)先画出y＝f(x)(x＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x＜0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1，0)和(0，1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
