2019届二轮复习三角函数和三角变换学案（全国通用）
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考情速递
1真题感悟
真题回放
1(2018年新课标Ⅲ文)若sin α＝,则cos 2α＝( )
A. B. C.－ D.－
【答案】B
【解析】cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
2.(2018年新课标Ⅲ文)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
【答案】C
【解析】f(x)＝＝＝sin xcos x＝sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
3（2018年北京）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4(2018年新课标Ⅱ文)已知tan＝,则tan α＝ .
【答案】
【解析】∵tan＝tan＝,∴tan α＝tan＝＝＝.
题型一：同角函数基本关系和诱导公式的应用
变式训练1
（2018•潍坊二模）已知α∈（），tan（α﹣π）=﹣，则cos（）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：B
变式训练2
（2018•齐齐哈尔三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若cos，则cos（2α+β）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A；
【解析】：由角α与角β终边关于x轴对称，得α+β=2kπ（k∈ ），
则cos（2α+β）=cos（2kπ+α）=cosα=．故选：A．
题型二：三角函数的图像和性质
变式训练3
（2018•宣城二模）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】：B
题型3三角函数的图像变换
例3（2018年天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间[-，]上单调递增
B．在区间[-，0]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，π]上单调递减
【分析】：先利用三角函数图像的平移变换得到平移后函数的解析式，再利用三角函数的性质判断函数的单调性即可。
【答案】A
【名师点评】解决这类问题的关键是，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点。角函数图象的平移注意两点：①必须是同名函数之间的平移，非同名函数的平移必须利用诱导公式化为同名函数再平移。②非标准形式需要利用三角函数恒等变换化为的形式，再平移。
变式训练5
（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2
D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2]
【答案】B
【解析】：根据曲线=sin（x﹣），
把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；
再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣） 的图象，
故选：B．
题型四三角函数式的化简、求值
例1.（2018年浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-，-）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cos β的值．
【思路分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．
【解析】（1）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（-，-）．
∴x=-，y=-，r=|OP|==1，
∴sin（α+π）=-sin α=-=．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，求值与化简中以角作为主观点，观察、分析条件和目标的角间差异，探求其间的某种内在联系，如和、差、倍、半等关系，使条件中的角的形式向目标转化，或向目标式中角的形式靠拢，以达到优化解法或突破难点的目的。
变式训练6 学 ]
(2018年江苏)已知α，β为锐角，tan α=，cos（α+β）=-．
（1）求cos 2α的值；
（2）求tan（α-β）的值．
【解析】（1）由解得
∴cos2α=cos2α-sin2α=-．
3.新题预测
1．（2018•潍坊三模）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】：∵角α的终边经过点，
可得cosα=sin=，sinα=cos=﹣，∴sin（π﹣α）=sinα=﹣，
故选：C．
2．（2018•福建模拟）将函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则（ ）
A．y=f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的最小正周期为
C．y=f（x）的图象关于点对称
D．f（x）在单调递增
【答案】：D
【解析】函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，
即f（x）=sinx．
根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=，∴A不对．
周期T=2π，∴B不对．
对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．
单调递增区间为[]，k∈ ，∴f（x）在单调递增．故选：D．
专项训练 三角函数与三角恒等变换
一.选择题
1.．（2018•新疆二模）若函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后所得的函数为偶函数，则φ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
2. （2018•上饶三模）若，则cos（π+2α）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】∵，即sinα=﹣，则cos（π+2α）=﹣cos2α=﹣1+2sin2α=﹣1+2•=﹣，
故选：A．
3. （2018•黔东南州二模）已知直线y=﹣x+1的倾斜角为α，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：B
4. （2018•乐山三模）已知sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】：A
【解析】：∵sin（﹣α）=，则cos（+2α）=cos（π++2α）=﹣cos（+2α）=﹣cos2（+α）
=﹣2+1=﹣2+1=﹣2×+1=，
故选：A．
5. （2018•桃城区校级四模）函数的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】：A
【解析】：，
=，
=，
由于，
所以当x=0时，．
故选：A．
6. （2018•珠海二模）若函数f（x）=cos（2x+φ）在（0，）上单调递减，则φ的值可能是（ ）
A．2π B．π C． D．﹣
【答案】：A
7. （2018•保定二模）将函数f（x）=cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关于函数y=g（x）的说法错误的是（ ）
A．函数y=g（x）的最小正周期为π
B．函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=
C．函数y=g（x）是一个零点为
D．函数y=g（x）在区间[]上单调递减
【答案】：D 学 ]
【解析】：把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位，
得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1的图象，
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，
对于A，由于T==π，故正确；
对于B，由2x+=kπ+，k∈ ，解得：x=+，k∈ ，
可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=，故正确；
对于C，g（）=2sin（2×+）=0，故正确；
对于D，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈ ，
解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈ ，可得函数y=g（x）在区间[，]上单调递减，故D错误．
故选：D． ]
8. （2018•咸阳一模）已知α为第二象限角，且，则sinα﹣cosα=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A ]
9. （2018•深圳二模）已知点P1，P2为曲线y=sinωx﹣cosωx（x∈R）（常数ω＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：曲线y=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣θ），tanθ=；
y′=ωcosωx+ωsinωx．
令ωx﹣θ=kπ，k∈ ．
由k=0，可得一个对称中心为P1（，0），
k=1时，可得相邻的对称中心为P2（，0），
曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为﹣1，
∴（ωcosθ+ωsinθ）[cos（π+θ）+ωsin（θ+π）]=﹣1，
∴（ωcosθ+ωsinθ）2=1，
2ω2cos2θ+2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ=1，
即2ω2+2ω2×tanθ+ω2tan2θ=tan2θ+1，
解得：ω=，
故选：A．
10. （2018•焦作四模）函数图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为1
B．f（x）的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．f（x）在区间上单调递减
【答案】：A
对于C：f（x+）=2sin（2x+π+）=﹣2sin（2x+），当x=﹣时，可得：﹣2sin（+）=2；则C不对；
对于D：令≤2x+，可得≤x≤是单调递减，则f（x）在区间上单调递减，则D对．
故选：D．
11. （2018•济南一模）若，，则sinA的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】：B
【解析】：∵，，
∴A+∈（，），可得：cos（A+）=﹣=﹣，
∴sinA=sin[（A+）﹣]=[sin（A+）﹣cos（A+）]=×（+）=．
故选：B．
12. （2018•珠海一模）函数f（x）=asinωx+bcosωx=Asin（ωx+φ）的一个对称中心为，且f'（x）的一条对称轴为，当ω取得最小值时，=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】：C
∴φ=k2π，k2∈ ，②
∵|φ|＜，ω＞0，
由①得，φ=，
由②得，φ=，
则，
可得ω=2（k2﹣k1），则ω的最小值为2．
∴φ=．
此时=φcosφ=．
故选：C．
二、填空题
13.（2018•汕头一模）若，则的值为 。
【答案】：
14. 函数f（x）=sin（2x+φ）﹣2cos（2x+φ）（0≤φ≤）的图象关于x=对称，则sinφ=
【答案】：.
【解析】：∵f（x）=sin（2x+φ）﹣2cos（2x+φ）=，（sinθ=，cosθ=）．且f（x）的图象关于x=对称，∴φ+θ=，k∈ ．则φ=kπ﹣θ，∴sinφ=sin（kπ﹣θ）．当k为偶数时，sinφ=﹣sinθ=﹣（舍）；当k为奇数时，sinφ=sinθ=．故答案为：．
15. 已知，则=
【答案】：
【解析】：由，
得，即，
∴sinθcosθ=，
∴==
=．
16. （2018•抚顺一模）已知函数的最小正周期为π，则当x∈[0，时函数f（x）的一个零点是 ．
【答案】：；
