2019届二轮复习等差数列学案（全国通用）

【学习目标】

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。

2.掌握等差数列的性质，能灵活运用等差数列的性质解决问题。

3.掌握等差数列前n项和公式及其应用，能灵活应用等差数列前n项和的性质解题。

4会求等差数列前n项和的最值。

【知识要点】

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

2.递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)。

3.通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d。

4.等差数列通项公式可以看作特殊的一次函数，an＝nd＋(a1－d)，一次项系数为d。

5.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，满足的关系式是

a＋b＝2A.

6.常用性质：

（1）

（2）{an}是等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.

（3）等差数列{an}中，若序号成等差数列，那么对应项也成等差数列。

7.等差数列前n项和公式：

8.等差数列前n项和性质：

（1）等差数列中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k 成等差数列。

（2）若{an}， {bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝。

9.等差数列前n项和公式是特殊的二次函数，因此可以利用此特征求前n项和的最值。

【题型详解】

类型一：定义法证明等差数列

例1：已知数列是等差数列,设.求证：数列也是等差数列.

证明：

小结：定义法证明，实际就是利用递推公式得到其公差是与n无关的常数，来判断是否为等差数列。   |  |X|X|K]

类型二：通项公式的应用   ]

例2：等差数列中,,,求的通项公式。

解:设数列的公差为d,

由题意有,,
解得,
所以的通项公式为   

小结：等差数列里大部分问题都可以将任意项用a1和d来表示，构造方程组解决问题。

类型三：等差中项的应用

例3：如果等差数列中，，那么（    ）。

A. 14           B. 21            C. 28                  D. 35

解析：

本题主要考查等差数列中项的性质。

，。故。

故本题正确答案为C。

类型四：等差数列性质的应用

例4：等差数列中,,则(      )

A.10           B.20            C.40            D.

解:等差数列中,,
则原式=.20所以B选项是正确的

类型五：等差数列前n项和的应用

例5：已知等差数列{an}中，

(1)a1＝，S4＝20，求S6；

(2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；

类型六：等差数列前n项和求最值

例6：已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为        .

【解析】由an≤0得，2n－48≤0，n≤24.

∴当n＝23或24时，Sn最小.

类型七：等差数列前n项和性质应用

例7：在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　)

A.9 B.12

C.16 D.17

【解析】(1)法一：由题意知：S4＝1，S8－S4＝3，

而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列.

即1,3,5,7,9，

a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.

【复习检测】

1.下列说法中正确的有        .(填序号)

①若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列.

②若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列.

③若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.

④数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.

【解析】①错误.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.   

②错误.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.

③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立.

④正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.

2.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝        .

【解析】∵数列{an}是等差数列，

∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，

∴a14＝6＋9×3＝33.

3.在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝        .

【解析】因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.

所以a5＝90，

a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.

4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝        .

【解析】在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.

5.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.  ]

6.请你根据提供的信息回答问题.

(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；

(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.

(1)由a1＝1，a6＝2，得

∴得a2＝1.2；

由b1＝30，b6＝10，得   

∴得b2＝26.

∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，

即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.

(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，

∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.