2019届二轮复习曲线与方程提分秘籍学案（全国通用）

题型一　定义法求轨迹方程

例1如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A， B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．学    ]

点评  应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

巩固1已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

题型二　直接法求轨迹方程

例2：(2016·广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

【解析】　(1)依题意得，c＝， e＝＝，

因此a＝3，b2＝a2－c 2＝4，

故椭圆C的标准方程是＋＝1.学  

点评　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

巩固2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．

题型三　相关点法求轨迹方程

例3　(2016·大连模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；

(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．

(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.由N为线段AB的中点，知

x＝，③

y＝.④

所以切线MA，MB的方程分别为

y＝(x－x1)＋，⑤

y＝(x－x2)＋.⑥

由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.

因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，

所以x1x2＝－.⑦

由③④⑦得x2＝y，x≠0.

当x1＝x2时，A，B重合于原点O，   ]

AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.

因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y. 学  

点评　“相关点法”的基本步骤

(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；

(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

巩固3设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．

答案与解析 学  ]

巩固1【解析】如图所示，

【答案】　－＝1 (x≤－)．

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．

A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.

解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解

不妨设A，B(0，－c)．

设点M的坐标为(x，y)，

则＝，＝(x，y＋c)．

由y＝(x－c)，得c＝x－y. 学      

于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，

即·x＋·x＝－2.

化简得18x2－16xy－15＝0. 学  

将y＝代入c＝x－y，得c＝>0. 学+ + ]

所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．

【答案】18x2－16xy－15＝0(x>0)

巩固3【解析】解　设△ABC的重心为G(x，y)，

【答案】　(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．