2019届二轮复习椭圆提分秘籍学案（全国通用）

题型一　椭圆的定义及标准方程

1　利用定义求轨迹

例1如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．双曲线

C．抛物线   D．圆

【答案】A

巩固1已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1   B.＋＝1

C.－＝1   D.＋＝1

2　利用待定系数法求椭圆方程

例2　(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为                                          ．

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为                                ．

【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，

又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.

若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．

∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.

又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.

∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.学  

【答案】　(1)＋y2＝1或＋＝1   (2)＋＝1

巩固2过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为                ．

3　利用定义解决“焦点三角形”问题

例3　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝        .

【解析】　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，

则

∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，

又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.

【答案】3

引申探究

1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．

【解析】　由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，

所以a－c＝1，解得a＝5，

故椭圆方程为＋＝1.

2．在例3中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3”，结果如何？

点评　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．学/ 

(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．

(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．

巩固3设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)

A．8   B．10

C．12   D．15

题型二　椭圆的几何性质

例4：(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)

A．0     B．1     C．2     D．2

(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A.     B.     C.     D.

(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，

又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.

【答案】　(1)C　(2)A

点评　(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧

①注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．

②利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．

(2)求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．

巩固4（1）（2018全国新课标Ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，

且，则的离心率为（   ）

A．   B．    C．     D．

（2）（2018全国新课标Ⅱ理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，

点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ）

A.   B．   C．   D．

题型三　直线与椭圆

1　直线与椭圆的位置关系

例5　若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m>1   B．m>0

C．0<m<5且m≠1   D．m≥1且m≠5

【答案】D

点评 研究直线与椭圆位置关系的方法

(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

巩固5已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

2  弦长及弦中点问题

例6斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2  B.  C.  D.

学  ]

【答案】C

变式：（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=          

时，点B横坐标的绝对值最大．

【解析】

方法一：设，，

当直线斜率不存在时，，.学  

当直线斜率存在时，设为.联立

得，，

，.

∵，∴，解得，.

∴（当且仅当时取“”）.

，，得，

∴当时，点横坐标最大.

【答案】 学  ]

巩固6已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；

例7已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以运用点差法，学  

所以直线AB的斜率为k＝，

设直线方程为y＝(x－3)，

联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，

所以x1＋x2＝＝2，

又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.

【答案】　D 学  ]

点评 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．

(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

＝  (k为直线斜率)．

(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

巩固7已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

例8已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求实数λ的值．

(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；

当AB所在直线l的斜率k存在时，

设l的方程为y＝k(x－1)．

由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①

①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.

∵

∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.

将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝.

又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，

即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，

∴λ＝.

巩固8（2018全国新课标Ⅲ文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的

中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．

答案与解析

【答案】D　

巩固2【解析】方法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.

由椭圆的定义知，2a＝

＋，

解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二　∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，

∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.

设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

∵c2＝16，且c2＝a2－b2，

故a2－b2＝16.①

又点(，－)在所求椭圆上，

∴＋＝1，即＋＝1.②

由①②得b2＝4，a2＝20，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.学 .

【答案】　＋＝1

【答案】　D

巩固4（1）【解析】在中，，，

设，则，，

又由椭圆定义可知

则离心率，故选D．

【答案】D

（2）【解析】因为为等腰三角形，，所以，

由斜率为得，，，，

由正弦定理得，，

，，故选D．

【答案】D

巩固6【解析】由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，

解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.

将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，学  

消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，

∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.

巩固7【解析】由已知得b＝4，且＝，

即＝，∴＝，

解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.

椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，

巩固8【解析】（1）设直线方程为，设,,

联立消得，

则，得…①，   ]

且，，

∵，∴ 且.且…②.

由①②得，∴或.学 /  学    ]

∵，∴ .