2019届二轮复习直线与圆锥曲线提分秘籍学案（全国通用）

题型一　直线与圆锥曲线的位置关系

例1  已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

点评　(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．学  

巩固1(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

(1)求；

(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．

题型二　弦长问题

例2：(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．

(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：<k<2.

(1)【解析】　设M(x1，y1)，则由题意知y1>0，由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入 ＋＝1得7y2－12y＝0，

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

点评　有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

巩固2（2018北京文）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求的最大值；

（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．

题型三　中点弦问题

1　利用中点弦确定直线或曲线方程

例3(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1            C.＋＝1        D.＋＝1

(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是                ．

(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－.

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，

故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]

【答案】　(1)D　(2)x＋2y－8＝0

巩固3（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B

满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

2　由中点弦解决对称问题

例4　(2015·浙江)如图已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

【解析】　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由

消去y，得x2－x＋b2－1＝0.学  

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①

将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②

由①②得m＜－或m＞.

思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．

(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．

巩固4（2018全国新课标Ⅰ文）设抛物线，点，，过点的直线与交于

，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：． 学   ]

巩固5设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．

(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；

(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．

答案与解析

学   ]

巩固2【解析】（1）由题意得，所以，

又，所以，所以， 学   ]

所以椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为．学  

【答案】（1）；（2）；（3）1．

巩固3【解析】（1）设，，，

则中点为，由中点在抛物线上，可得，

化简得，显然，

且对也有，

所以是二次方程的两不等实根，

所以，，即垂直于轴.

所以，

，所以，

即的面积的取值范围是.

【答案】：（1）略；（2）.

巩固4【解析】（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，

∴或，

∴的方程为：或. 学  ]

（2）设的方程为，设，联立方程，得，∴，，

∴，

∴，∴.学  

【答案】（1）或；（2）见解析

(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，

可知两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，

将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，

＝－代入上式得k＝－.

又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m.

所以m＝y0＋k＝y0.由点P(－，y0)在线段BB′上

(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示)，

所以yB′<y0<yB，也即－<y0<.

所以－<m<，且m≠0.