2019届二轮复习曲线与方程学案（全国通用）

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

一、曲线与方程的概念

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤

求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件p的点M的集合；

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．  

一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．

三、两曲线的交点

（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

考向一 考查曲线与方程的概念

判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：

（1）曲线上的每个点都符合某种条件；

（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.

典例1  方程表示的曲线是

A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线

C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段

【答案】C

典例2  方程y=-对应的曲线是

【答案】A　

【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.

1．方程x2＋y2－2x+4y+5＝0表示的图形是

A．一个点     B．两条直线

C．一个圆     D．一条直线与一个圆

考向二 直接法求轨迹方程

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

典例3  已知坐标平面上一点与两个定点，，且．

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．

【解析】（1）由，得，

化简得，

所以点的轨迹方程是，

该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．

（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，

2．在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为

A．     B．

C．     D．

3．设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的

A．一条直线     B．一个圆

C．双曲线的一支     D．一个椭圆

考向三 定义法求轨迹方程

求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．

利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

典例4  已知圆A，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切.

（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值.

【解析】（1）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=,

4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为

A．  B．

C．  D．

5．如果点在运动过程中总满足关系式.

（1）说明点的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程；

（2）若是坐标原点，直线：交点的轨迹于不同的两点，求面积的最大值.

考向四 相关点法求轨迹方程

动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程．

典例5  已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程.

【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0).

因为，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.

又点M在圆C上，所以，即，

所以动点Q的轨迹方程为.

典例6  已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(1)求椭圆的方程;

(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

6．若动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为

A．     B．

C．     D．

7．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

考向五 参数法求轨迹方程

若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.

参数法求轨迹方程的步骤： 

（1）选取参数k，用k表示动点M的坐标．

（2）得出动点M的参数方程.

（3）消去参数k，得m的轨迹方程．

（4）由k的范围确定x，y的范围．

典例7  如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N ,1≤i≤9).

（1）求证:点Pi(i∈N ,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为4∶1,求直线l的方程.

【解析】解法一：（1）依题意,过Ai(i∈N ,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,

Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.

Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.

由解得Pi的坐标为(i, ).

因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点Pi(i∈N ,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y.

（2）同解法一.

8．过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且|BM|∶|MA|=1∶2,则动点M的轨迹方程为　　　　. 

考向六 圆锥曲线中的对称问题

圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识 络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法. 

典例8  若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围.

【解析】解法一：如图,

9．已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；

（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：直线过定点.

1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是

A．方程f(x，y)＝0的曲线是C

B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C

C．f(x，y)＝0是曲线的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上

2．下列四组方程表示同一条曲线的是

A．y2=x与y= B．y=lg x2与y=2lg x

C．=1与lg(y+1)=lg(x-2) D．x2+y2=1与|y|=

3．方程表示的曲线是

A．半个圆     B．双曲线的一支

C．一个圆     D．双曲线

4．表示的曲线一定不是

A．抛物线     B．双曲线

C．椭圆     D．直线

5．当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段的中点的轨迹方程是

A．     B．

C．     D．

6．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是

A．     B．

C．     D．

7．设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为

A．     B．

C．     D．

8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足，则点P的轨迹方程为          .

9．由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为          ．

10．已知双曲线的一支C:y=和直线l:y=kx,若l与C有两个不同的交点A,B,则线段AB的中点的轨迹方程为          . 

11．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

（1）求M的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程.

12．如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，，试求动点的轨迹方程．

13．已知圆，直线，.

（1）求证：对于，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

14．已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

15．已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点，的距离之和为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆交于，两点，，在椭圆上，且，两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

16．已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；

（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂直于轴的直线交于，，证明：为定值，并求出该定值．

17．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，短轴长为，为坐标原点，定点，点在已知椭圆上，动点满足.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点，求的面积的最大值．

1．（2011北京理 ）曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则的面积不大于．

其中，所有正确结论的序号是              ．

2．（2017新课标全国II理 ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

1．【答案】A

【解析】由题意得，

则，

∴方程表示的图形是点．故选A．

2．【答案】A

【解析】设动点P的坐标为，

则由条件得，即．

所以动点P的轨迹方程为．故选A．

3．【答案】D

4．【答案】B

【解析】本题主要考查轨迹方程的求解.结合线段的中垂线的性质可知，|MA|=|MQ|,且|MC|+|MQ|=5，故有|MA|+|MC|=5，则可知动点到两个定点的距离和为定值5>|AC|=2，则可知点M的轨迹就是椭圆，且2a=5，2c=2，结合椭圆的性质可知b=,故其方程为.

5．【解析】（1）可表示与的距离之和等于常数，

由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且，

故轨迹方程为.

（2）由消去y，得，

∵,∴，

，

，

令，则，

∴，

当且仅当，即时，S取得最大值.

故面积的最大值为.

6．【答案】B

7．【解析】设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在中,｜AR｜=｜PR｜,

又因为R是弦AB的中点,依垂径定理，在中,,

又,所以有,即,

因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以,代入方程,得,整理得x2+y2=56,这就是所求的点Q的轨迹方程.

8．【答案】12x+15y-74=0

【解析】设过点P2的直线方程为y-7=k(x-2)(k≠0),则过点P1的直线方程为y-5=-(x-1),所以A(5k+1,0)，B(0,-2k+7).设M(x,y),则由|BM|∶|MA|=1∶2,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.当k=0时,易得A(1,0),B(0,7),则M(,),也满足上述方程.故点M的轨迹方程为12x+15y-74=0.

9．【解析】（1）结合椭圆的几何特征，可得、、在椭圆上， 

将代入，得.

故直线的方程为.

（3）设，联立，

消去y，得，

设，则.

1．【答案】B

【解析】由题意，曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解只满足点在曲线上，不能说明曲线上的点都是方程的解，即方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C，所以答案B正确.

2．【答案】D　 

【解析】根据每一组曲线方程中x和y的取值范围,不难发现A,B,C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致;而D中两曲线的x与y的取值范围都是[-1,1],且化简后的解析式相同,所以D正确.故选D.

又点在圆上，所以，

故选择

6．【答案】D

【解析】由题意得动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点P的轨迹方程是.故选D．

∴点P的轨迹方程为．

10．【答案】(x-)2-y2=(x>2)　

【解析】设AB的中点为M(x0,y0),联立,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,则y0=,x0=,消去k得-=x0,因为,所以<k<1,得x0>2,所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x>2).

11．【解析】（1）圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

12．【解析】设，，，则，，

由，得，即，，∴，．

又，∴，．

由，得，∴，得，

故动点的轨迹方程为．

13．【解析】（1）圆的圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离为.

所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点.

（2）设中点为，

14．【解析】（1）设点，由题知，，

整理，得， 

故曲线的方程为.

（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，

设直线的斜率为，由题知，，，

由，消去，得，所以，

所以 .

又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.

15．【解析】（1）由题意，得，，

又点也在直线上，则，∴，

∵，∴.

则.

同理.

∵，∴，

∴，∴，

∴存在实数，使，此时的值为.

16．【解析】（1）因为动圆恒过且与直线相切，

所以点到与到直线的距离相等，所以圆心的轨迹的方程为，

17．【解析】（1）设椭圆的标准方程为， 

由题意可知，即，解得

故椭圆的标准方程为.

设，

因为，所以，所以.

又∵点在已知椭圆上，故为动点的轨迹方程．

（2）椭圆的右焦点，设直线的方程是，与联立，可得，

当且仅当，即时取到等号．

故的面积的最大值是.

1．【答案】②③

【解析】因为原点O到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；

因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1 PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；

因为，即面积不大于，所以③正确．

故填②③． 

2．【解析】（1）设，，则．

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．

【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．