2019届二轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系学案（全国通用）

学  2019年高考数学讲练测【新课标版 】【讲】

【考纲解读】

【知识清单】

1.直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；

3.代数法：，方程组有一组不同的解.

2.直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；

3.代数法：，方程组有两组不同的解.

3.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().

(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.

(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.

(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.

【重点难点突破】

考点1  直线与圆相切

【1-1】【2018届广东省深圳市南山区高三上入学】过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是(   )

A.     B.     C. 1    D. 2

.

【1-2】过点作圆的切线方程是　　　　　．]

【答案】或

【领悟技法】

设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.

【触类旁通】

【变式一】【安徽省皖中地区2019届高三入学摸底】若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

圆的方程化为标准式为

因为点有两条直线与圆相切

所以点在圆外

所以

解不等式组得    ]

所以选D

【变式二】已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为      ．

【答案】

【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.

【综合点评】

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单.

考点2 直线与圆相交及弦长

【2-1】【2018届湖北省华师一附中9月调研】已知圆C： （）及直线： ，当直线被C截得的弦长为时，则=       （   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.

【2-2】直线经过点，且与圆相交，截得弦长为，求的方程．

【答案】或

【领悟技法】

1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.

2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长.

方法二、设直线的斜率为，直线与圆的交点坐标为，则弦长.

【触类旁通】

【变式一】【四川省成都经济技术开发区实验中学校2019届高三入学】已知直线和圆相交于两点，若，则的值为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【变式二】【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则             .

【答案】4

【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

【综合点评】

1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；

2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；

3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．

4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.

考点3 圆与圆的位置关系

【3-1】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

【3-2】已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

【答案】,.

【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：.

将配方得： ，圆心到公共弦的距离为.所以弦长为.

【领悟技法】  ]

1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；

2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.  

【触类旁通】

【变式一】若圆与圆相切，求实数的值．

【答案】或

【变式二】【四川省宜宾市第四中学2018届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是(   )

A． 内切    B． 相离    C． 外切    D． 相交

【答案】D

【解析】

圆的标准方程为，
则圆心为，半径，
圆心到直线的距离

∵圆截直线所得线段的长度是，

即 ，即，
则圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
则 ，


即两个圆相交．
故选D．

【综合点评】

1. 比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；
2. 两圆方程相减即得公共弦方程；
3. 公共弦长要通过解直角三角形获得．

考点4  直线、圆的位置关系的综合应用

【4-1】【重庆市綦江中学2018届高考适应性】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

 ①-②得，

化为，

由，

可得总满足直线方程，

即过定点，故选B.

【4-2】设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则圆半径r的取值范围是          ．

【答案】

【解析】圆心到已知直线的距离为：，

【4-3】已知点及圆：.

①若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

②设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；

③设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】①或；②；③不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

②由于，而弦心距， 所以.

所以恰为的中点.

故以为直径的圆的方程为.

③把直线．代入圆的方程，

消去，整理得

．

由于直线交圆于两点，

故，

即，解得．

则实数的取值范围是.

设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以的斜率，而，所以． 学  ]

由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．

【领悟技法】

1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；

2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.

【触类旁通】

【变式一】【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】在平面直角坐标系中，已知， ，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【变式二】过点作圆的弦，其中最短的弦长为      .

【答案】.

【解析】如下图所示，圆的圆心坐标为，点，过点作圆的弦，过点作，垂足为点，则，且，当点与点重合时，取最大值，此时取最小值，且，因此.

【综合点评】

数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.

【易错试题常警惕】

易错典例：求过点的圆的切线方程

易错分析：易忽视切线斜率不存在的情况而失解．

温馨提醒：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.  

在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：

【典例】已知直线上总存在点，使得过点作的圆： 的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（     ）

A. 或    B.     C.     D. 或

【答案】C

【解析】