2019届二轮复习（理）专题44直线与圆、圆与圆的位置关系学案（全国通用）


1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0

高频考点一　直线与圆的位置关系问题
【例1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，3)
C. D.
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交．

答案　(1)B　(2)D
【感悟提升】(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决．
【变式探究】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
解析　(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
(2)整理曲线C1的方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，依题意知直线l与圆相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝＜r＝1，解得m∈，又当m＝0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B.
答案　(1)A　(2)B
高频考点二　圆的切线与弦长问题
【例2】 (1)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为 .
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 .

(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.
联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标.
由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
答案　(1)4π　(2)4
【举一反三】已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解　(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

【方法规律】(1)弦长的两种求法
①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
②几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
(2)圆的切线方程的两种求法
①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
【变式探究】 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为 ．
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 ．
解析　(1)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
答案　(1)2　(2)4
高频考点三　圆与圆的位置关系
【例3】(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离]
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.2

(2)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据均值不等式可知ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立.
答案　(1)B　(2)C
【举一反三】 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为 ．
解析　(1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，
圆心距d＝＝.
∵3－2 (2)由
①－②得2x－y＝0，代入①得x＝－或－1，
∴两圆两个交点为，(－1，－2)．
过两交点圆中，以，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．
∴该圆圆心为，半径为
＝，
圆方程为＋＝.
答案　(1)B　(2)＋＝
规律方法　判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【变式探究】 (1)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝ ．
(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是 ．

答案　(1)2或－5　(2)2
高频考点四　直线与圆的综合问题
例4、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
答案　C
解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
【变式探究】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为直线l与圆C交于两点，所以<1.
解得 所以k的取值范围为.

【举一反三】(1)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为 ；
答案　x＝2或4x－3y＋4＝0
解析　当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
①与直线l1：x＋y－4＝0平行；
②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
③过切点A(4，－1)．

【感悟提升】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【变式探究】(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为 ．
(2)已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是 ．
答案　(1)2　(2)
解析　(1)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(2)将圆C的方程化为标准方程为
2＋(y＋1)2＝，
其圆心坐标为C，半径r＝.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，
则|AC|>r，即>，
即a2＋a＋9>0，解得a∈R.
又4－3a2>0时x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0才表示圆，
故可得a的取值范围是.

1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】 P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.
2. （2018年全国Ⅲ卷理数）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
]
3. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
4.（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .
【答案】

19.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）

（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。

【答案】（1）（2）（3）
【解析】

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=　　　　（　　）
A、2 B、 C、6 D、
【答案】C
【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.选C.
2.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】．
【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选．
3.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或
【答案】D

4.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．
（Ⅰ）圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：
①； ②； ③．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.

5.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】
【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为学 。
1．（2014·安徽卷）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
【答案】A　


要使C∩Ω为两段分离的曲线，则有1 2．（2014·北京卷）已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
【解析】解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，
其中x0≠0.

当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝.
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝. 学 ]
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
3．（2014·福建卷）直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A　
【解析】由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝<1，解得k≠0.
当k＝1时，d＝，|AB|＝2＝，则△OAB的面积为××＝；
当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
4．（2014·湖北卷）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝ .
【答案】2　
【解析】依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin 45°，得 |a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.
5．（2014·全国卷）直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于 ．

【答案】　

6．（2014·山东卷）已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是 ．
【答案】(2，＋∞)　
【解析】g(x)的图像表示圆的一部分，即x2＋y2＝4(y≥0)．当直线y＝3x＋b与半圆相切时，满足h(x)>g(x)，根据圆心(0，0)到直线y＝3x＋b的距离是圆的半径求得＝2，解得b＝2或b＝－2(舍去)，要使h(x)>g(x)恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．
7．（2014·陕西卷）若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为 ．
【答案】x2＋(y－1)2＝1　
【解析】由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0，1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
8．（2014·四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ．
【答案】5　
【解析】由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
∴|PA PB|≤＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．
9．（2014·重庆卷）已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝ ．
【答案】4±　

10．（2014·重庆卷）如图1­4所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

图1­4
【解析】解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2得|DF1|＝＝c.
从而S△DF1F2＝|DF1 F1F2|＝c2＝，故c＝1.
从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.

由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.