2019届二轮复习第1讲　直线与圆学案（全国通用）

第1讲　直线与圆
高考定位　1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.

真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
解析　由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.
答案　A
2.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
解析　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二　设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA＝1，kAB＝＝－1，所以kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB.所以OB为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
答案　x2＋y2－2x＝0
3.(2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
解析　圆C的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，点C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2.所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案　4π
4.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________.
解析　因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立解得所以点A的横坐标为3.
答案　3
考 点 整 合
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2k1＝k2，l1⊥l2k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.
4.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.

热点一　直线的方程
【例1】 (1)(2018·惠州三模)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，直线l的方程为(　　)
A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－5＝0
C.x＋y－3＝0 D.2x＋3y－8＝0
解析　(1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，
得m＝－1或m＝－7.
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，
直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件.
(2)设l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.
∵a>0，b>0，∴＋≥2.
则1≥2，
∴ab≥8(当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时，取“＝”).
∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小.
此时l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.
答案　(1)B　(2)A
探究提高　1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【训练1】 (1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________.
解析　(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.
∵A(1，1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2.
∴两平行直线的斜率k＝－.
∴直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案　(1)A　(2)x＋2y－3＝0
热点二　圆的方程
【例2】 (1)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为________.
(2)(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析　(1)设圆心(a>0)，半径为a.
由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2.
所以圆心为(2，1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a).
由题意知与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案　(1)(x－2)2＋(y－1)2＝4　(2)(x＋1)2＋(y－)2＝1
探究提高　1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
温馨提醒　解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
【训练2】 (1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
(2)(2018·日照质检)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.
解析　(1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，
则有解得
所以圆的标准方程为＋y2＝.
(2)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.∴圆C的半径r＝|CM|＝＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案　(1)＋y2＝　(2)(x－2)2＋y2＝9
热点三　直线(圆)与圆的位置关系
考法1　圆的切线问题
【例3－1】 (1)过点P(－3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为______.
(2)(2018·湖南六校联考)已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B.∪
C.∪
D.
解析　(1)点P(－3，1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，
所以直线P′Q的方程为x－(a＋3)y－a＝0.
依题意，直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切.
∴＝1，解得a＝－.
(2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线.
设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0.
由d＝＝1，得k＝±.
∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为，.
故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是∪.
答案　(1)－　(2)B
考法2　圆的弦长相关计算
【例3－2】　(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解　不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明　BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0， ③
由①②③解得x＝－，y＝－.
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
探究提高　1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.
2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________________.
解析　(1)圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.
所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.
(2)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案　(1)B　(2)x＋y－3＝0

1.解决直线方程问题应注意：
(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
(2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
2.求圆的方程两种主要方法：
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.
3.直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝，弦长公式|AB|＝2(弦心距d).

一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A.－ B.－ C. D.2
解析　圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d＝＝1，解得a＝－.
答案　A
2.(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
解析　“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件.
答案　A
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析　依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案　B
4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)
A.10 B.9
C.10 D.9
解析　易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，
∴最短弦的长为2＝2＝2，
故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
答案　C
5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为(　　)
A. B.[0，1]
C. D.
解析　设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，∴＝2，化简得x2＋(y＋1)2＝4.∴点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝，∴1≤a2＋(2a－3)2≤9，解之得0≤a≤.
答案　A
二、填空题
6.过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________.
解析　易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.
又|AB|＝4，r＝3，
∴圆心(2，3)到l的距离d＝＝.
因此＝，解得k＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－3＝0.
答案　x＋2y－3＝0
7.(2018·济南调研)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l，若l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相交所得弦长为，则a＝________.
解析　由y＝ax2，得x2＝，∴准线l的方程为y＝－.又l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相交的弦长为，∴＋＝1，则a＝.
答案　
8.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________.
解析　由题意，＝＝，∴a＝40，b＝24，
∴直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，
A(1，－1)到直线的距离为＝，
∵直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，∴r＝，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝
三、解答题
9.已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程.
解　解方程组得即l1与l2的交点P(1，2).
①若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而kAB＝＝－，
由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
②若点A，B分别在直线l的异侧，
则直线l经过线段AB的中点，
由两点式得直线l的方程为＝，
即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
10.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标.
解　圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圆心C(－1，2)，半径r＝.
由|PM|＝|PO|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，
∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2.
整理，得2x1－4y1＋3＝0，
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上.
当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，
此时直线PO⊥l，
∴直线PO的方程为2x＋y＝0.
解方程组得
故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程.
解　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6，7)，半径为5，
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0).
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0 从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为|BC|＝|OA|＝＝2，
又|MC|2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.