2019届二轮复习第九章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系学案（全国通用）

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
[常用结论与微点提醒]
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析　两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2 答案　B
3.(2018·大连双基测试)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(　　)
A.± B.±
C.± D.±1
解析　将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.
答案　D
4.已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为 .
解析　在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
答案　x－y＋＝0或x＋y－＝0
5.(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为 .
解析　由得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.
答案　2

考点一　直线与圆的位置关系
【例1】 (1)(2018·青岛测试)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是 .
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交.
(2)法一　将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜.
法二　圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即＞1，解得－＜k＜.
答案　(1)B　(2)－＜k＜
规律方法　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【训练1】 (1)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
(2)(2018·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.
(2)由题意知，圆心C(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，至多有2点到直线的距离为1时，0 答案　(1)B　(2)C
考点二　圆的切线、弦长问题
【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为 .
(2)过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为 .
解析　(1)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得＋
＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
答案　(1)4π　(2)x＝2或4x－3y＋4＝0
规律方法　1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2.圆的切线方程的两种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
【训练2】 (1)(2018·合肥测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为 .
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 .
解析　(1)设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(2)将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为.
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长，即＝，解得k＝或k＝，则切线的方程为y＝x或y＝x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
答案　(1)2　(2)4
考点三　圆与圆的位置关系
【例3】 (2017·郑州调研)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
故两圆的公共弦的长为2＝2.
规律方法　1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【训练3】 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2018·九江模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.2
解析　(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根据基本不等式可知ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立.
答案　(1)B　(2)C

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A.－ B.－ C. D.2
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案　A
2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析　∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案　B
3.(2018·洛阳一模)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　依题意，因|AB|＝，则圆心O到直线l的距离等于＝，即有＝，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要条件，选A.
答案　A
4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.
答案　C
5.(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝－
解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
答案　B
二、填空题
6.(2016·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝ .
解析　由圆x2＋y2＝12知圆心O(0，0)，半径r＝2，
∴圆心(0，0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.
如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.
∵直线l的方程为x－y＋6＝0，
∴直线l的倾斜角∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°，因此|CD|＝＝＝4.
答案　4
7.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝ .
解析　由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
则圆心C(2，1)满足直线方程x＋ay－1＝0，
所以2＋a－1＝0，解得a＝－1，
所以A点坐标为(－4，－1).
从而|AC|2＝36＋4＝40.
又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.
即|AB|＝6.
答案　6
8.(2018·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是 .
解析　把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3>5.故圆C1与圆C2相离，所以，|PQ|的最小值是3－5.
答案　3－5
三、解答题
9.已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
解　(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C点坐标为(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得＝1，解得k＝－，
则直线l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解　(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·衡水中学模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)
A.10 B.9
C.10 D.9
解析　易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，
∴最短弦的长为2＝2＝2，
故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
答案　C
12.(2018·湖北四地七校联考)过点A(1，)的直线l将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ .
解析　易知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，
圆心C的坐标为(2，0)，当直线l被圆截得的弦的弦心距最长时，劣弧所对的圆心角最小，此时l⊥CA，如图所示，
所以k＝－＝－＝.
答案　
13.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解　不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，
则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0，1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明　BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，③
由①②③解得x＝－，y＝－.
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.