2019届二轮复习　直线与圆[小题提速练]学案（全国通用）

第17练　直线与圆[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时主要考查求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度．

考点一　直线的方程
方法技巧　(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
2．已知A(1,2)，B(2,11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－2,0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0,6]
C．[－2，－1]∪[3,6] D．[－2,0)∪(0,6]
答案　C
解析　由题意得，两点A(1,2)，B(2,11)分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，
∴≤0，
解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
3．过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△AOB的最小值为________．
答案　12
解析　 依题意，设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2,3)在直线l上，
∴＋＝1，则ab＝3a＋2b≥2，
故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号．
因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值为12.
4．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
答案　3
解析　依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，
则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式，得＝，即|m＋7|＝|m＋5|，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
考点二　圆的方程
方法技巧　(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程．
5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案　B
解析　设圆心坐标为(a，－a)，
则＝，即|a|＝|a－2|，
解得a＝1，
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，
故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案　A
解析　y＝的导数y′＝－，令－＝－2，
得x＝1(舍负)，
平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝(x＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
答案　(x－2)2＋y2＝9
解析　∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2(舍负)．
∴圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
8．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为__________________．
答案　 (x－2)2＋(y－1)2＝4
解析　 设圆心(a>0)，半径为a.
由勾股定理得()2＋2＝a2，解得a＝2(舍负)．
所以圆心为(2,1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
考点三　点、直线、圆的位置关系
方法技巧　(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
9．过点P(－3,1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
解析　点P(－3,1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，因为直线P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由＝1，得a＝－.
10．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)，若倾斜角为45°的直线l过抛物线y2＝－12x的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2，则a等于(　　)
A.＋1 B.
C．2－ D.－1
答案　D
解析　∵抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，
故直线的方程为x－y＋3＝0.
∵弦长为2，圆的半径r＝2，
∴圆心到直线的距离d＝1，即＝1，
结合a>0，得a＝－1，故选D.

11．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案　5－4
解析　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
12．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________________．
答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1
解析　由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)．
又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)．
由题意知与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝＝－，
解得a＝(舍负)．
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

1．直线xcos θ＋y＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________．
答案　∪
解析　设直线的斜率为k，则k＝tan α＝－cos θ.
因为－1≤cos θ≤1，所以－≤－cos θ≤.
所以－≤tan α≤.
①当0≤tan α≤时，0≤α≤；
②当－≤tan α＜0时，≤α＜π.
故此直线的倾斜角α的取值范围是∪.
2．已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________．
答案　x－2＝0或3x－4y＋10＝0
解析　当l斜率不存在时，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，
C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
由题意可得2＋2＝10，
解得k＝，此时l：3x－4y＋10＝0.
综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.
3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案　
解析　如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝＝，

要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.
所以|PM|的最小值为2.
所以|PQ|＝≥＝.
解题秘籍　(1)直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围．
(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形．
(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系．



1．已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件．
2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)
A．(5，＋∞) B．(0,5]
C．(，＋∞) D．(0，]
答案　D
解析　当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，
∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，]．故选D.
3．已知过点P(2,2)的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．－ B．1 C．2 D.
答案　C
解析　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，且P为圆C上一点，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
4．若直线x－y＋m＝0被圆C：(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为(　　)
A．1 B．－3
C．1或－3 D．2
答案　C
解析　∵圆C：(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1,0)，半径r＝，
又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.
∴圆心C到直线的距离d＝＝，
∴＝，∴m＝1或m＝－3.
5．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，
∴圆心到原点的距离d＝＝.
6．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)
A．10 B．9 C．10 D．9
答案　C
解析　易知最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，
∴最短弦的长为2＝2＝2，
故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
7．已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为(　　)
A．(2,4)∪(6,8) B．(2.4]∪[6,8)
C．(2,4) D．(6,8)
答案　A
解析　把x2＋y2－4x－6y＋11＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圆心坐标为(2,3)，半径为，则<<＋，解得2 8．如图，圆M和圆N与直线l：y＝kx分别相切于点A，B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|＝|ON|且＝2，则实数k的值为(　　)

A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，

设圆M，圆N的半径分别为R，r，
∵＝2，∴|AC|＝2|BC|.
∵OB是圆M，圆N的切线，
∴AM⊥OB，BN⊥OB，△MAC∽△NBC，
∴＝＝2，即R＝2r.
∵x轴是两圆的公切线，且OB也是两圆的公切线，
∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，
∴∠NOQ＋∠POM＝90°，
∴∠NOQ＝∠PMO，又|OM|＝|ON|，
∴△MPO≌△OQN，∴|OQ|＝|MP|＝R.
∴tan∠NOQ＝＝＝，
∴tan∠BOQ＝tan 2∠NOQ＝＝，∴k＝.
9．(2018·全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝______.
答案　2
解析　由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.
圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝
＝，∴|AB|＝2＝2＝2.
10．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________．
答案　＋1
解析　△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离等于，由点到直线的距离公式，得＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－且b∈[－，]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝＝，因此当b＝－时，dmax＝＝＋1.
11．已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
答案　x＋y－3＝0
解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4,1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3,0)，
则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．
因此a·kCP＝a·＝－1，
∴a＝－1.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，
即x＋y－3＝0.
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案　
解析　圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知，(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理得3k2－4k≤0，
解得0≤k≤.故k的最大值是.