2019届二轮复习以不变应万变--定点定直线问题学案（全国通用）



考纲要求:
1.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
2.曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
基础知识回顾:
1.直线和圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2.根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
应用举例:
类型一　圆锥曲线中的定点问题
【例1】【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试】动点到定点的距离之比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两个不同的点，过点分别作曲线的切线，且二者相交于点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：；
（3）求 的面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ) 见解析；(Ⅲ)4．
【解析】
试题分析:（1）根据抛物线定义确定曲线的方程；（2）根据导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程，解方程组可得交点坐标，最后利用向量数量积为零证明结论（3）三角形高为，根据抛物线定义求焦点弦长，根据三角形面积公式得关于斜率函数关系式，最后解函数最值得结论

∴直线AM的方程为：　①
直线BM的方程为：　②
①－②得：，即
将代入①得：
∴
故∴
∴
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M到AB的距离
∵
∴
∴当k = 0时，△ABM的面积有最小值4．
【例2】【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知抛物线的焦点为，是上一点，且.
（1）求的方程；
（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.
【答案】（1）的方程为；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义利用.可求，进而求得的方程；
（2）证明：设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得
.由轴及点在直线上，得，
则由，，三点共线，得，
整理，得.结合韦达定理可得
. 由点的任意性，得，即可证明.

（2）证明：设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得
.
根与系数的关系.得，.③
由轴及点在直线上，得，
则由，，三点共线，得，
整理，得.
将③代入上式并整理，得.
由点的任意性，得，所以.
即直线恒过定点.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法、抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．
【例3】【湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考】已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　
（1）求点的轨迹方程；
（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】
【详解】
（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ， ．
令的方程为，因为在上，所以．
于是由解得， ，所以的方程为．
由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以．
令点， ，则， ，
， ．
于是由， ，得
即
两式相乘得．
又因为点在上，所以，即，
代入中，得 ．
当时，得；
当时，则点或，此时或，也满足方程．
若点与点重合，即时，由解得或．
若点与点重合时，同理可得或．
综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）．
（2）因为点到直线 的距离， ，
所以的面积
.
当且仅当，即或 ，
此时点的坐标为或．
【点睛】
(1)本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查圆锥曲线中的面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简
其二是求的最大值.
类型二 圆锥曲线中的定直线问题
【例4】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】已知点，直线与轴交于点，动点到两点的距离之比为2．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设与轴交于两点，是直线上一点，且点不在上，直线分别与交于另一点，证明：三点共线．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】
（1）设点，依题意，，
化简得，即曲线的方程为．
（2）证明：由（1）知曲线的方程为，
令得，不妨设，．

设，，，
则直线的方程为，
由得，
所以，即，．
直线的方程为，

所以，所以三点共线．
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求解，三点共线的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【例5】【湖北省荆州市荆州中学2018届普通高等学校招生全国统一考试】有些事，有些人会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色．其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这么多时间，却始终没有被感动 已知抛物线，且，，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点．
（1）求证：、、三点共线；
（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】
⑴先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置，再确定三点坐标，利用直线的斜率相等判定三点共线
⑵设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，基本不等式进行求解

所以，，，
所以，，所以，
所以、、三点共线．
（2）解：由条件可知，可设，
代入，得， ，解得．
设，，则，
所以 ， 当且仅当，即或
时，
【点睛】
⑴证明三点共线的主要方法有①转化为两直线的斜率相等，即
②转化为两个向量共线⑵在研究直线与抛物线的位置关系时，往往设直线，避免讨论直线斜率不存在的情况
【例6】【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
（1）求椭圆的方程;
（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；
（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.

（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，
得，
设的横坐标分别为，
则，∴，
由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，
得
设的横坐标为，则
∴
，令，
则 ，
综上
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
方法、规律归纳:
1.解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；学 ]
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2.证明动点在定直线上，体现了点的变化轨迹，其实质是：求点的轨迹方程. 一般的求解策略是：引入参数或是利用熟悉的知识转化为求点的轨迹问题.
实战演练:
1．【河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试】已知点，点，点，动圆与轴相切于点，过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点（均不同于点），且与交于点，设点的轨迹为曲线.
（1）证明：为定值，并求的方程；
（2）设直线与的另一个交点为，直线与交于两点，当三点共线时，求四边形的面积.
【答案】(1)证明见解析，方程为.
(2) .
【解析】分析：（1）根据圆的切线性质可得， ，从而根据椭圆的可得结果；（2）直线与曲线联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得四边形的面积为.

（2）由O¢，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，
又由直线CE，CA为圆O¢的切线，可知CE＝CA，O¢A＝O¢E，
所以△O¢AC≌△O¢EC，进而有∠ACO¢＝∠ECO¢，
所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，
所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)
(i)当点P的坐标为(0，)时，∠PBC＝60°，∠BCD＝30°，
此时直线l1的方程为y＝ (x＋1)，直线CD的方程为y＝－ (x－1)，
由整理得5x2＋8x＝0，得Q(－，－)，所以|PQ|＝，
由整理得13x2－8x－32＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，
|MN|＝|x1－x2|＝，
所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝．
(ii)当点P的坐标为(0，－)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为．
综上，四边形MPNQ的面积为．
点睛：求椭圆标准方程的方法一般为定义法与待定系数法,定义法是若题设给条件符合椭圆的定义，直接写出方程；也可以根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
2．【福建省漳州市2018届高三5月质量检查测试】已知抛物线，且，，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点．
（1）求证：、、三点共线；
（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8.
【解析】分析：（1）先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置，再确定三点坐标，利用两直线的斜率相等判定三点共线；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、基本不等式进行求解．

（2）由条件可知，可设，
代入，得，
，解得． 学 ]
设，，则，
所以 ，
当且仅当，即或时，
点睛：1.证明三点共线的主要方法有：
①转化为两直线的斜率相等，即；
②转化为两个向量共线，即;
2.在研究直线和抛物线的位置关系时，往往设直线方程为，避免讨论直线斜率不存在的情况．
3．【辽宁省部分重点中学协作体2018年高三模拟考试】已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.
详解：（1）由题意，，根据椭圆定义，
所以
所以，
因此，椭圆 .
（用待定系数法，列方程组求解同样给分）
（2）设直线，，由
消去y得


因为，所以
即，解得

所以，
点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
4．【辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试】如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．

（l）求椭圆C的标准方程；
（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线的斜率为且直线L与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 列出关于 、 的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，
又点也在直线上，进而得结果.

(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，
所以直线的斜率为，
所以可设直线的方程为
据得
设点，
所以，
所以.
因为，所以
所以点在直线上，
又点也在直线上，
所以三点共线.
点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或
；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
5．【齐鲁名校教 研协作体2018届高考冲刺模拟试卷（三）】已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点.
(1)求椭圆方程；
(2)是否在轴上的定点，使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在定点满足条件.
详解：
（1） ， ，点代入 有： 学 ]
椭圆方程为：
（2）存在定点满足条件：设，直线方程为，联立
消有，设，，则
，且
由三点共线有：

，
存在定点满足条件.
点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力.
6．【全国名校联盟2017-2018高三适应性考试（五）】圆心在原点的两圆半径分别为，点是大圆上一动点，过点作轴的垂线，垂足为， 与小圆交于点，过作的垂线，垂足为，设点坐标为.
（1）求的轨迹方程；
（2） 已知直线： （是常数，且， ， 是轨迹上的两点，且在直线的两侧，满足两点到直线的距离相等.平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点坐标；若不可能，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在.
【解析】试题分析： 求出， 的坐标，根据、、三点共线，算出的轨迹方程；
设点的坐标，代入椭圆方程，点差法算出，代入到的中点和坐标，可以得到，整理即可计算出结果

（2）由题意可知、的中点在直线： 上，
设、、， ，
又、在椭圆上，有
，
可得.
又， ，
∴， ，
∵，∴是等腰三角形，∴.
即恒成立，
整理得，关于恒成立，
∴ ，
∴存在满足题意.
7．【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试】已知椭圆的离心率为,且椭圆过点,过点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆交于四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若,探究：直线是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数的方程组进行求解，由离心率可得，又点在椭圆上，可得，结合，从而问题可得解.
（Ⅱ）由题意，可对直线的斜率分“不存在与0”和“都存在且”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为，，逐个联立椭圆方程，分别计算的中点的坐标，从而求出直线的方程，并求得其定点为，再对前一种情况进行验证即可.

联立，得，∴，
∴，，∴中点的坐标为；
同理，中点的坐标为，∴，
∴直线的方程为 ，
即，∴直线过定点；
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；
综上所述，直线过定点.
8．【黑龙江省大庆中学2018届高三考前仿真模拟考试】已知椭圆C的标准方程为：，该椭圆经过点P（1，），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆长轴上一点S（1，0）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知条件推导出，e=，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣，联立，得M（），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（），从而得到直线MN的方程为x﹣y=，由此能证明直线MN经过定点（）．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣，联立，得（3m2+4）y2+6smy+3s2﹣12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴x1+x2=（my1+s）（my2+s）=m2y1y2+ms（y1+y2）+s2=，
由中点坐标公式得M（，﹣），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点
N（，）
∴直线MN的方程为x﹣y=，m≠±1，令y=0得：x=，∴直线MN经过定点（），
当m=0，±1时，直线MN也经过定点（），综上所述，直线MN经过定点（）．
当时，过定点
【点睛】
圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
9．【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】已知动点到定点的距离与到定直线：的距离比值是.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）曲线与轴交于、两点，直线和与直线：分别交于点，，试探究以为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
【详解】
（1）设，由已知，
两边平方化简得，
点的轨迹的方程是.

以，为直径的圆是，
即，
令，，，
以，为直径的圆恒过和.
【点睛】
本题主要考查轨迹法求椭圆方程曲线过定点问题，属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
10．【福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟考试】已知一定点，及一定直线：，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切．
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设在直线上，直线，分别与曲线相切于，，为线段的中点．求证：，且直线恒过定点．
【答案】（1）动点的轨迹的方程为；（2）见解析.
【解析】
分析：（1）利用直接法，即可求动点的轨迹的方程；
（2）依题意可设，，，∴切线：，同理可得切线PB，故可得到，从而整理可得答案.
详解：(1) ∵圆过点，且与直线相切，
∴点到点的距离等于点到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，以直线：为准线的一抛物线，
∴即，
∴动点的轨迹的方程为.

又，∴且，
故方程即有两根，，∴，
∴，∴，
又为线段的中点，∴，
又由得：，
即，同理可得：，
故直线的方程为，故直线恒过定点．
点睛：1.求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
11．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.
试题解析：
（Ⅰ）设，则，
设，则.
解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设方程为，联立，
得，
，
因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0，
即，即，
得，
即.解得：.
直线方程为：，所以直线过定点，
又，
令 ，
又.
点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种： ]
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． 学 ]
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
【答案】（Ⅰ ）（Ⅱ）直线恒过点
（Ⅱ）设直线，
则，
即，
；
设，而，则由得
,
，
即，
整理得，解得或（舍去）
直线，知直线恒过点．
点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
13．【河北省石家庄二中2018届高三三模】设椭圆的右焦点为，右顶点为，且，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.
（1）求的方程；
（2）设过且斜率不为零的直线与交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，
证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）.
（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）根据已知得到a和c的方程组，解方程组即得E的方程.(2) 设的方程为，，求得，再求直线的方程为，最后求其定点.

（2）由（1）得，，又直线的斜率不为零，故可设的方程为，
由得，

点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和直线的定点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求得，其二是求直线的方程为.
14．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟】如图，已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】（1） （2） （3）见解析.
【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD上即可得到结论.

（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，
此时AE与BD交于F2G的中点(，0)，
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，
直线AE的方程为y－y2＝ (x－4)，
令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝0，
所以点T(，0)在直线AE上，
同理可证，点T(，0)在直线BD上.
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，能正确计算直线方程表示是解题关键，计算量较大，属于难题．
15．【【衡水金卷】四省2018届高三第三次大联考】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点作于点，的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，点在上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.

【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】分析：（1）设，由题意结合距离公式计算可得轨迹方程为；
（2）由已知可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，记，则，则直线的方程为，集合韦达定理化简可得直线的方程为，则直线过定点.
详解：（1）设，由题可知，
所以，
即，化简整理得，
即曲线的方程为.

则，
∴直线的斜率为，直线的方程为，
即，
又，
∴直线的方程为，
∴直线过定点.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．