2019届二轮复习第九章第2课时　定点、定值、范围、最值问题学案（全国通用）

第2课时　定点、定值、范围、最值问题

考点一　定点问题
【例1】 (2018·临汾一中月考)已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点.
(1)解　∵直线过点(a，0)和(0，1)，∴直线的方程为x＋ay－a＝0，∵直线与圆x2＋y2＝相切，∴＝，解得a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，
解得x0＝－1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，
由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒
＝2，
即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，
即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，
由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，
即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，
故直线AB过定点(－1，－1).
综上，直线AB过定点(－1，－1).
规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【训练1】 (2018·西安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
解　(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，
可得2a＝4，a＝2.
又T(2，)在椭圆上，因此＋＝1，所以b＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(－2，0).
因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于E，F两点，
设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0).
由消去y，得x2＝，
所以x0＝，则y0＝，
所以直线AE的方程为y＝(x＋2).
因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x＝0，得y＝，即点M.
同理可得点N.
所以|MN|＝＝.
设MN的中点为P，则点P的坐标为.
则以MN为直径的圆的方程为x2＋＝，
即x2＋y2＋y＝4，
令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.
故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(－2，0).
考点二　定值问题
【例2】 (2018·长春模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以抛物线E上点P(2，y0)为圆心的圆与直线y＝相交于M，N两点，且||＝||＝||.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，求证：△ABC的面积为定值.
(1)解　由抛物线的定义得|PF|＝y0＋，点P到直线y＝的距离为y0－，
∵圆P与直线y＝相交于M，N两点，且||＝||，
∴＝，即cos∠PMN＝，∴∠PMN＝30°，
∴点P到直线y＝的距离为||，
即||＝2，
∵||＝||，
∴y0－＝，得y0＝p，
将点(2，p)代入抛物线方程，得p＝2，
∴抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，得x2－4kx－4b＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
则点D(2k，2k2＋b).
设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程，得x2－4kx－4m＝0，由Δ＝16k2＋16m＝0，
得m＝－k2，点C的横坐标为2k，则C(2k，k2)，
∴直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1－x2|，即|x1－x2|＝4，∴＝4，
则16k2＋16b＝32，即b＝2－k2，
∴|CD|＝|2k2＋b－k2|＝2，
∴S△ABC＝|CD|·|x1－x2|＝×2×4＝4，即△ABC的面积为定值.
规律方法　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
→
　↓
→
　↓
→
【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.
考点三　范围与最值问题
【例3】 (2018·武汉模拟)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.
解　(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M，

∵直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，
∴λ＝，∵k2>，∴<λ<1.
综上所述，λ的取值范围是.
规律方法　1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【训练3】 (2018·惠州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋(y－b)2＝a2相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
(3)在(2)的条件下求△AMN面积的最大值.
(1)解　由题意，得∴
即C：＋y2＝1.
(2)证明　由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.
∵A(－2，0)，设l1：x＝my－2，l2：x＝－y－2，
由得(m2＋4)y2－4my＝0，
∴M.同理，N.
①m≠±1时，kMN＝，
lMN：y＝.此时过定点.
②m＝±1时，lMN：x＝－，过点.
∴lMN恒过定点.
(3)解　由(2)知S△AMN＝×|yM－yN|
＝＝8
＝＝.
令t＝≥2，当且仅当m＝±1时取等号，
∴S△AMN≤，且当m＝±1时取等号.
∴(S△AMN)max＝.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A. B. C.4 D.5
解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
答案　B
2.(2018·衡水中学周测)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，＋＋＝0，O为坐标原点，且△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S＋S＋S等于(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
解析　由题意可知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)，由＋＋＝0，得(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，y＝4x3，又S1＝·|OF|·|y1|＝|y1|，S2＝|OF|·|y2|＝|y2|，S3＝|OF|·|y3|＝|y3|，所以S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝×(4x1＋4x2＋4x3)＝3.
答案　B
3.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.[3，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(1，3] D.(1，3)
解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点，
∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，
∴c＝≥3a，
∴e＝≥3.
答案　A
4.(2018·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.3
解析　∵直线l与圆相切，
∴原点到直线的距离d＝＝1，
∴m2＝1＋k2.
由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
∴
∴k2<1，∴－1 ∴x2－x1＝＝＝，
∵0≤k2<1，∴当k2＝0时，x2－x1取最小值2，故选A.
答案　A
5.(2018·南昌NCS项目模拟)抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
解析　由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|，得|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)，所以cos∠AFB＝
＝
＝
＝－
≥×2－＝－，
当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立.
而0<∠AFB<π，所以∠AFB的最大值为.
答案　D
二、填空题
6.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是 .
解析　∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
答案　
7.(2018·东北三省四校模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .
解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.
答案　(1，2]
8.(2018·河南六市一模)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上(P不与A1，A2重合)且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 .
解析　由椭圆C：＋＝1可知左顶点A1(－2，0)，右顶点A2(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，得＝－，∵kPA1＝，kPA2＝，∴kPA1·kPA2＝＝－，又∵－2≤kPA2≤－1，∴－2≤－≤－1，解得≤kPA1≤，即直线PA1斜率的取值范围为.
答案　
三、解答题
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1，0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.
解　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线.
∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|，
又|PQ|是点Q到直线l的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0).
(2)弦长|TS|为定值.理由如下：
取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
∵点M在曲线C上，∴y＝2x0，
∴|TS|＝2＝2是定值.
10.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝得：x0＝x，y0＝y，
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝
(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2.故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·长沙模拟)若P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　)
A.1 B.2＋ C.4＋ D.2＋1
解析　设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离.易知l的方程为y＝或y＝－，F2(，0)，求得F2到l的距离为1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1.
答案　D
12.(2018·合肥模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为 .
解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝＋.
∵－3≤x≤3，
∴≤x＋≤，∴≤≤，
∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·≤12，故最小值为6.
答案　6
13.(2018·昆明诊断)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆方程；
(2)已知T(－4，0)，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求△MNF1面积的最大值.
解　(1)由已知，得|PF1|＋|PF2|＝2a，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1 PF2|cos 60°＝4c2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1 PF2|＝4c2，②
|PF1 PF2|sin 60°＝，即|PF1 PF2|＝4，③
联立①，②，③解得a2－c2＝3.又＝，∴c2＝1，a2＝4，
b2＝a2－c2＝3，椭圆方程为＋＝1.
(2)根据题意可知直线MN的斜率存在，且不为0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
代入椭圆方程，整理得(3m2＋4)y2－24my＋36＝0，
则Δ＝(24m)2－4×36×(3m2＋4)>0，所以m2>4.
y1＋y2＝，y1y2＝，
则△MNF1的面积S△MNF1＝|S△NTF1－S△MTF1|
＝|TF1|·|y1－y2|＝
＝＝18
＝6×＝6×≤＝.
当且仅当＝，即m2＝时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.
故△MNF1面积的最大值为.