2019届二轮复习直线中的对称问题学案（全国通用）
展开题型一 点关于点中心对称
例1过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2： x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ．
【答案】 x＋4y－4＝0
变式：在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是 ．
【解析】 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，
得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，
将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，
则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，
即y＝kx＋3－4k＋b，
∴b＝3－4k＋b，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，
取直线l上的一点P，
则点P关于点(2,3)的对称点为，
∴6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.
∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.
【答案】 6x－8y＋1＝0
点拨①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
巩固1已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝ .
题型二 点关于直线对称
例2：如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．3 B．6 C．2 D．2
【答案】 C
变式1：从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 学 ]
【解析】 由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，
所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，
又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，
所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
【答案】 A
变式2：将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A. B. C. D.
【答案】 A
点拨：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
巩固2一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A. B．2 C．3 D．4
题型三 直线关于直线的对称问题
例3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【解析】 在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则 ]
解得∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
变式：若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 ( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
【答案】 B
点拨：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
巩固3已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
答案与解析
巩固1【解析】由题意得
解得或经检验，两种情况均符合题意，
∴a＋b的值为0或.
【答案】 0或
巩固2【解析】点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，
则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.
故选B.
【答案】B
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0. 学 /
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
