2019届二轮复习直线与直线的方程学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1.直线的倾斜角与斜率  ]

1．直线的倾斜角

①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角的范围为．

2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .

②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：

（1）当时，越大，斜率越大；

（2）当时，越大，斜率越大.

2.直线的方程

1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：

.这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.

2.直线的两点式方程

直线过两点其中，则直线的方程为：

.这个方程叫做直线的两点式方程.

当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.

特别地，若直线过两点，则直线的方程为：

，这个方程叫做直线的截距式方程.

3.直线的一般式方程

关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.

【重点难点突破】

考点1  直线的倾斜角与斜率

【1-1】【2018届重庆市抽测（三）】已知直线的倾斜角为，则

A．     B．     C．     D．

【答案】A  ]

【解析】

由题设有，

.

故选A.

【1-2】【2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第三次月考】已知直线过两点，且倾斜角为，则=（     ）

A． 3    B．     C． 5    D．

【答案】A

【领悟技法】

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．

【触类旁通】

【变式一】直线的倾斜角为（     ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【变式二】已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是                      .

【答案】

【解析】如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.     

【综合点评】

1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.

2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．

考点2 直线的方程

【2-1】【2018届黑龙江省伊春市第二中学第一次月考】已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】直线经过点，且斜率为，则 即

故选A

【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．

【答案】

【领悟技法】

求直线方程的常用方法有

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

【触类旁通】

【变式一】直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

【答案】或.

【解析】若直线在两坐标轴上的截距都为，即直线过原点，则直线的斜率为，所以直线方程为：.

若直线在两坐标轴上的截距都不为，则可设为．由截距式方程可得，直线的方程为：，即.因为直线过点，所以.

所以直线方程为：，即所以直线方程为：.  学 ……  

【变式二】将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.

【答案】

【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.

【易错试题常警惕】

易错典例：设直线l的方程为． 学  ]

(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；

(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围．

易错分析：易忽视截距均为的情况而失解．

正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴，方程即为.

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，

∴＝，即方程即为.综上，的方程为.

(2)将的方程化为

∴或,

综上可知的取值范围是．

温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.

【学 素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：

【典例】【2018届北京市西城区第13中学高三上期中】已知直线经过点．

（I）点到直线的距离为，求直线的方程．

（II）直线在坐标轴上截距相等，求直线的方程．

【答案】（I）或；（II）或.

，

解出， 学  ]

整理得．