2019届二轮复习小题分层练7 中档小题保分练(3)作业（全国通用）
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一、选择题
1．已知函数f(x)＝为R上的单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(2,3] B．(2，＋∞) C．(－∞，3) D．(2,3)
A [若f(x)在R上单调递增，则有，解得2<a≤3；
若f(x)在R上单调递减，则有，无解，综上实数a的取值范围是(2,3]，故选A.]
2．(2018·湖南益阳高三调研)将函数f(x)＝cos(2x＋θ)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x＝对称，则θ＝( )
A. B. C．－ D. －
A [由题意知，g(x)＝cos＝cos2x－＋θ，令2x－＋θ＝kπ，即函数g(x)的对称轴为x＝－＋，又|θ|＜，当k＝0时，有－＝，解得θ＝，故选A.]
3．阅读如图39所示的程序图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是( )
图39
A．n＝6? B．n＜6? C．n≤6? D．n≤8?
C [S＝0，n＝2，判断是，S＝，n＝4，判断是，S＝＋＝，n＝6，判断是，S＝＋＋＝，n＝8，判断否，输出S，故填n≤6.]
4．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB＝( )
A. B. C．－ D．－
B [画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P到点O距离最小时，∠APB最大，此时|OP|＝＝2，又OA＝1，故∠OPA＝，
∴∠APB＝，∴cos∠APB＝.]
(教师备选)
玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据(单位：cm)如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积(单位：cm3)为( )
A．256＋14π B．256＋16π
C．256－29π D．256－22π
D [由三视图可知该几何体的体积为
8×8×4－π×32×4＋[π×42×2－π×32×2]＝256－22π，故选D.]
5．(2018·菏泽一模)已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且Sk＝66，则k的值为( )
A. 9 B. 11 C. 10 D. 12
B [因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a＋1,3a＋2，所以2(2a＋1)＝1＋3a＋2，解得a＝1，所以公差d＝＝＝1，所以Sk＝k×1＋×1＝66，解得k＝11或k＝－12(舍)，故选B.]
6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图40所示，则下列结论中一定成立的是( )
图40
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [①当x＜－2时，1－x＞0.
∵(1－x)f′(x)＞0，
∴f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．
②当－2＜x＜1时，1－x＞0.
∵(1－x)f′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．
③当1＜x＜2时，1－x＜0.∵(1－x)f′(x)＞0，
∴f′(x)＜0，
即f(x)在(1,2)上是减函数．
④当x＞2时，1－x＜0.∵(1－x)f′(x)＜0，
∴f′(x)＞0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．]
7．(2018·兰州一模)已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
B [如图所示，设直线l1，l2与直线y＝x之间的距离为d＝2，弧ACB和弧EFG上的点满足题意，且sin∠DBO＝＝＝，∴∠DBO＝30°，
由角度型几何概型计算公式可得圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率：P＝＝.]
8．(2018·山东济南高三一模)已知双曲线C：－＝1的两条渐近线是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1距离是3，则点M到渐近线l2距离是( )
A. B. 1 C. D. 3
A [双曲线C：－＝1的两条渐近线方程分别为2x±3y＝0，设M(x1，y1)为双曲线C上一点，则－＝1，即4x－9y＝36，点M 到两条渐近线距离之积为k＝·＝＝为常数，所以当点M到渐近线l1距离是3，则M点到渐近线l2距离是÷3＝，选A.]
9．(2018·山西孝义高三一模) 有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
C [若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件．而如果丙猜对，其他老师都不会对．]
(教师备选)
(2018·芜湖一模)如图51，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体AOEF中，下列结论中错误的是( )
A．AO⊥平面EOF
B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2
C．四面体AOEF的外接球表面积为6π
D．异面直线OH和AE所成角为60°
D [因为AO⊥OE，AO⊥OF，所以AO⊥平面EOF；
直线AH与平面EOF所成角为∠AHO，
所以tan∠AHO＝＝＝2.
四面体AOEF的外接球直径为以OA，OE，OF为长宽高的长方体对角线长，即
2R＝＝，所以外接球表面积为4πR2＝6π.
取AF中点M(图略)，则异面直线OH和AE所成角为∠OHM，所以cos∠OHM＝≠，所以D错误．]
10．(2018·河南商丘高三二模)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＋f(x)＞1，f(0)＝5，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式ex(f(x)－1)＞4(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(3，＋∞)
A [设g(x)＝ex(f(x)－1)，
∴g′(x)＝ex(f(x)－1)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x)－1)，
∵f(x)＋f′(x)＞1，∴g′(x)＞0，
∴函数g(x)在R上单调递增．
∵f(0)＝5，∴g(0)＝4，∵ex(f(x)－1)＞4，
∴g(x)＞g(0)，∴x＞0.]
二、填空题
11．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
[－4,2] [由题意知或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，
故所求x的取值范围是[－4,2]．]
12．(2018·马鞍山二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＋3cos A＝1，b＝5，△ABC的面积S＝5，则△ABC的周长为________．
9＋ [∵cos 2A＋3cos A＝1，∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，∴sin A＝，又∵S＝5，b＝5，∴bcsin A＝×5×c×＝5，∴c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－2×5×4×＝21，即a＝，∴△ABC的周长为5＋4＋＝9＋.]
(教师备选)
1．(2018·维吾尔自治区高三二模)在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分．其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．
甲 [如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立；
如果乙说的是真话，则甲、丙、丁都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成立；
如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立；
所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、丙都是假话，可推得甲得了满分，
故考满分的同学是甲．]
2．(2018·重庆高三二模)边长为2的等边△ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥OABC的体积为________．
[设球半径为R，则4πR2＝，解得R2＝.
设△ABC所在平面截球所得的小圆的半径为r，则r＝×＝.
故球心到△ABC所在平面的距离为d＝＝＝，即为三棱锥OABC的高，所以VOABC＝dS△ABC＝××＝.]
