2019届二轮（理科数学）小题好拿分作业（江苏专用）

2019届二轮（理科数学）     小题好拿分  作业（江苏专用）

一、填空题

1．设椭圆的右焦点为F，离心率为e，直线AB的斜率为 ，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF、BF的中点分别为M、N，以线段MN为直径的圆过原点若，则e的取值范围是______．

【答案】

【解析】学  

【分析】

设，直线AB的方程为，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，由中点坐标公式可得M，N的坐标，由题意可得可得，结合 的范围，从而求出e的取值范围．

即有，

可得，

由可得，结合椭圆的离心率范围为：0<e<1

解得，

故填：

【点睛】

本题考查了求椭圆的离心率的取值范围，涉及了中点坐标公式的应用，涉及了用向量的数量积表示垂直；本题运算较复杂，且在求解过程中，易忽略椭圆的离心率0<e<1导致错解.

2．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．

【答案】

【解析】

由题意得，

又，解得。

∴椭圆的方程为。

∴椭圆右焦点的坐标为，

设线段的中点为，

由三角形重心的性质知，从而，

解得，

所以点Q的坐标为。

设，则，且，

以上两式相减得，

∴， 学  

故直线的方程为，即．

答案：

点睛：弦中点问题的解决方法

（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤

①设点——设出弦的两端点坐标；

　②代入——代入圆锥曲线方程；

　③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；

　④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。

（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交。

3．已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，由点向圆所作的两条切线， 且，则椭圆的离心率的取值范围是__________．

【答案】

【解析】因为，所以,在RT 中，由得，由点在椭圆上知， ，所以，解得，又知，故填.

4．在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.学-  

【答案】    . 

【解析】

【分析】

先求出BC中点D的轨迹方程，再化简得到利用向量的坐标化简得利用数形结合分析得到m的取值范围.

【详解】

设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

所以点D的轨迹方程为，

因为，所以

设

所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，

由于点在圆上运动，

所以，

所以正数m的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查向量的坐标运算，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

5．在平面直角坐标系xOy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数 的值为__________．

【答案】

6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，为轴上一动点，则周长的最小值为______．

【答案】14

【解析】

【分析】

由题意，设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，得恰为圆的直径，进而得到，即可求解周长的最小值.

【详解】

设直线与圆的一个交点关于轴的对称点为，易知恰为圆的直径，

记与x轴交于点，则，

所以的周长的最小值为，

又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离为，

所以由圆的弦长公式可得，

又在直角中，，所以，

所以的周长的最小值为14.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，以及圆的性质的应用，其中解答中合理　应用直线与圆的位置关系和圆的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

7．已知直线x－y＋b＝0与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数b的取值范围是______．

【答案】

【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.

详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是

点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．

8．已知函数，，若存在，使得.则实数的取值范围是__________.

【答案】

【点睛】

本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.

9．已知 ，若不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为______________．

【答案】

【解析】因为函数 为单调递增函数，且 ，所以不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，设 ，则 ，当时， ；当 时的最小值为1.

10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】函数,若函数有三个零点，

就是与有3个交点，

，画出两个函数的图象如图：

,

当x<0时, ，当且仅当x=−1时取等号，此时−b>6，可得b<−6；

当时, 当时取得最大值,满足条件的.

综上, .

给答案为： .

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

 11．（文 选做）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。

（理 选做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

【答案】   

【解析】（文 选做）如下图所示：

取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，学  

在Rt△A1B1M中， ，

同理在Rt△A1B1N中，可求得，

∴△A1MN为等腰三角形，

当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，

又.

所以线段A1P长度的取值范围是．答案： 。

点睛：解题的关键是作出辅助线，即分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，证平面A1MN∥平面AEF，得到点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得，本题体现了立体几何中“先找后证再计算”的解题思路。

（理 选做）

建立如图所示的空间直角坐标系。设正方体的棱长为2，则

。学  

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，则。

又平面ABCD的发向量为。

∴。学      

故所求锐二面角的余弦值为。答案： 。

12．若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.

【答案】

【解析】 学     

考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程

13．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为      ．

【答案】3x﹣2y﹣7=0

14．直线与圆相交于、两点，若,则_________．（其中为坐标原点）

【答案】

【解析】

试题分析：由可知圆心到直线的距离等于1，

考点：直线与圆相交问题学  

15．已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.

【答案】

【解析】

令

，又

.学  

16．已知函数在区间取得最小值4，则         ．

【答案】

值,从而写出符合题设条件的参数的值.

17．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， 若，则的大小关系为___________.（用“<”连接）

【答案】

18．有下列命题：

①双曲线与椭圆有相同的焦点；

②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；    . 

③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；

④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；

其中是真命题的有：      ．（把你认为正确命题的序号都填上）

【答案】①③④

【解析】

试题分析：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为②2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）故②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”故是真命题．④将已知转化为命题间的相互推出关系；利用推出的传递性及充要条件的定义判断出各个命题的真假．学  

解：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为

  ②∵2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）

∴“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件

③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：“若xy≠0，则x、y都不为0”

故是真命题．

④∵p是q的充分条件

∴p⇒q

∵r是q的必要条件

∴q⇒r

∵r是s的充要条件

∴r⇒s

∴p⇒s

故s是p的必要条件

答案为：①③④

考点：圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用．

19．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是      ．

【答案】（0，4）∪（6，+∞）

∴m2=a2+b2= OP 2，

∴m的最大值即为 OP 的最大值，等于 OC +r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，

∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．

故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．学  

考点：直线与圆的位置关系．

20．设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是           ．

【答案】

21．已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为                 ．

【答案】

考点：抛物线的性质，直线与圆的位置关系．

22．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是      ．

【答案】

【解析】

试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率

考点：椭圆离心率

23．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，过A，B作直线的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记， 若直线l的斜率≥,则的取值范围为       ．

【答案】.

【解析】

试题分析：根据已知条件求出椭圆C的方程，再由直线l过椭圆C的右焦点，设出直线l的方程，联系椭圆C和直线l的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围．

考点：(1)直线与圆锥曲线的综合问题；(2)椭圆的应用．

24．．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为        ．

【答案】m＞4或m=2 .

考点：（1）圆的方程；（2）数形结合思想.

25．设函数，，不等式对恒成立，则的取值集合是       ．

【答案】

【解析】试题分析：法一：因为，且，，要使不等式对恒成立，只须满足

当时，对时，恒有，所以在单调递减，所以，，依题意此时需要满足条件  . 

综上可知的取值的集合为.

法二：因为不等式对恒成立，所以必有即，又因为

此时由可知，当时，，所以函数在上单调递增，所以，

要使不等式对恒成立，必须满足即即

综上可知的取值的集合为.

考点：1.分类讨论的思想；2.函数的单调性与导数；3.不等式的恒成立问题.

26．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是       ．

【答案】

考点：1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题

27．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是     ．

【答案】

【解析】

设,

即.

28．已知函数，若对任意实数，关于的方程最多有两个不同的实数解，则实数的取值范围是___________________________________

【答案】

【解析】即对任意实数，方程最多有两个不同的实数解的否定为存在，方程最少有三个不同的实数解，令，即，因为为连续函数，要使得至少有三解，即函数图象与轴由三个交点，需满足由数形结合可得如下：(1)

即存在满足，可得即，得或；

点睛：本题主要考查了分段函数，二次函数中方程与根的关系，考查了数形结合与含有量词命题的否定的应用，计算量较大，具有一定难度；该题通过等价转化，将题意转化为存在，方程最少有三个不同的实数解，将函数用分段函数进行表示，通过分析可得共有两种情形，分别用数形结合思想进行考查. 学  

29．已知A(-1,0),B(2,0),直线l:x+2y+a=0上存在点M,使得MA2+2MB2=10,则实数a的取值范围为_________

【答案】

30．椭圆左、右焦点分别为若椭圆上存在点,使得为椭圆的离心率,则椭圆的离心率的取值范围为_________.

【答案】

【解析】由题意得，解得，

∵，即，

∴，

整理得，解得或（舍去），

又，