2019届二轮复习压轴小题抢分练(3)作业（全国通用）
展开2019届二轮复习 压轴小题抢分练 (3) 作业（全国通用）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.过抛物线x2=2y上两点A,B分别作切线,若两条切线互相垂直,则线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为 ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选B.抛物线的方程即:y=,则y′=x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则过A,B两点切线的斜率为:k1=x1,k2=x2,
由题意可得:x1x2=-1.
由题知抛物线的准线方程为y=-,
则线段AB的中点到抛物线准线的距离为:
+=(++2)≥(2|x1x2|+2)=1,
当且仅当|x1|=|x2|=1时等号成立.
据此可得线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.
2.已知函数f(x)=e2 018x+mx3-m(m>0),当x1+x2=1时,对于任意的实数θ,都有不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ)成立,则实数x1的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.[1,2] C.(1,2] D.(1,+∞)
【解析】选D.令g(x)=f(x)-f(1-x)=(e2 018x+mx3)-[e2 018(1-x)+m(1-x)3],则
g′(x)=2 018[e2 018x+e2 018(1-x)]+3m[x2+(1-x)2]>0,
据此可得函数g(x)单调递增,
x1+x2=1,则不等式f(x1)+f(sin2θ)>f(x2)+f(cos2θ),即
f(x1)+f(sin2θ)>f(1-x1)+f(1-sin2θ),
则f(x1)-f(1-x1)>f(1-sin2θ)-f[1-(1-sin2θ)],
即g(x1)>g(1-sin2θ),
结合函数g(x)的单调性可得:x1>1-sin2θ恒成立,
当sin θ=0时,(1-sin2θ)max=1,
结合恒成立的条件可得实数x1的取值范围是(1,+∞).
3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l:12x-5y -24=0交双曲线的右支于A,B两点,若∠AF1B的平分线的方程为x-4y+2=0,则三角形AF1B内切圆的标准方程为 ( )
A.+=
B.(x-1)2+=
C.(x-1)2+=
D.+=
【解析】选A.如图所示,
设三角形AF1B的内切圆切AB于点E,切AF1于点G,切BF1于点H,则BF1-BF2=AF1-AF2,得
BH+HF1-(BE+EF2)=AG+GF1-(AE-EF2),
所以-EF2=EF2,即EF2=0,也就是E与F2重合,
由∠AF1B的平分线的方程为x-4y+2=0,
可得F1(-2,0),故F2(2,0).
设三角形AF1B的内切圆的圆心C(m,n),则
解得m=,n=.
所以三角形AF1B的内切圆的半径为r==,所以三角形AF1B的内切圆的标准方程为+=.
4.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,
由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax-a的下方,
因为g′(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
所以当x<-时,g′(x)<0;
当x>-时,g′(x)>0,
所以当x=-时,g(x)取最小值-2.
当x=0时,g(0)=-1,当x=1时,g(1)=e>0,
直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a,
故-a>g(0)=-1且g(-1)=-3e-1≥-a-a,
解得≤a<1.
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a<b<c,P点在△ABC所在平面上的投影恰好是△ABC的重心G,设平面PAB,PAC,PCB与底面ABC所成的锐二面角分别为α,β,γ,则 ( )
A.α>β>γ B.α<β<γ
C.α=β=γ D.α<γ<β
【解析】选A.根据题意画出如图所示的图形:
因为G为△ABC的重心,
所以S△AGB=S△AGC=S△BGC.
过G分别作GH,GM,GN垂直于AB,AC,BC,连接PH,PM,PN,可知∠PHG,∠PMG、∠PNG分别为平面PAB,PAC,PCB与底面ABC所成的锐二面角,分别为α,β,γ.
在△AGB,△AGC,△BGC中,AB>AC>BC,
且S△AGB=S△AGC=S△BGC,
所以GH<GM<GN.
在Rt△PGH,Rt△PGM,Rt△PGN中,PG=PG=PG,GH<GM<GN.
所以>>,即tan α>tan β>tan γ.
因为正切函数在上为增函数,
所以α>β>γ.
6.函数f(x)=(kx+4)ln x-x(x>1),若f(x)>0的解集为(s,t),且(s,t)中恰有两个整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.令f(x)>0,得kx+4>,
令g(x)=,则g′(x)=,
令g′(x)>0,解得x>e,令g′(x)<0,解得1<x<e,
故g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
画出对应的图象,f(x)>0在(s,t)中恰有两个整数解,由图可知,这两个整数解为2和3,
从而有解得-<k≤-1.
7.若曲线y=ln的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.设切点为(x0,y0),
则有⇒b=ae-2,因为b>0,所以a>,a+=a+≥2.
8.已知函数f(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.设x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),
因为当x∈[0,1]时,f(x)=x,
所以f(x+1)=x+1.
因为f(x)+1=,
可得f(x)=
方程f(x)-mx-x=0,化为f(x)=mx+m,
画出图象y=f(x),y=m(x+1),M(1,1),N(-1,0),
可得kMN=.
因为在区间(-1,1]上方程f(x)-mx-x=0有两个不同的实根,所以0<m≤.
9.等比数列{an}的首项为,公比为-,前n项和为Sn,则当n∈N*时,Sn-的最大值与最小值的比值为 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选B.因为等比数列{an}的首项为,公比为-,
所以an=×,
所以Sn==1-.
①当n为奇数时,Sn=1+随着n的增大而减小,则1<Sn≤S1=,故0<Sn-≤;
②当n为偶数时,Sn=1-随着n的增大而增大,则=S2≤Sn<1,故-≤Sn-<0.
所以Sn-的最大值与最小值的比值为=-.
10.如图是一个几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.画出几何体的立体图形,如图,
由题意可知,①直线BE与直线CF异面,不正确,
因为E,F是PA与PD的中点,可知EF∥AD,
所以EF∥BC,直线BE与直线CF是共面直线.
②直线BE与直线AF异面,正确.
③直线EF∥平面PBC;由E,F是PA与PD的中点可知,EF∥AD,所以EF∥BC,
因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC是正确的.
11.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4,直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是 ( )
世纪金榜导学号
A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|
C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|
【解析】选C.由
消去y整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0(k≠0),
设M1(x1,y1),M4(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=4.
过点M1,M4分别作直线l′:x=-2的垂线,垂足分别为A,B,则|M1F|=x1+2,|M4F|=x2+2.
对于A,|M1M3|·|M2M4|=(|M1F|+2)(|M4F|+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16,不为定值,故A不正确.
对于B,|FM1|·|FM4|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,不为定值,故B不正确.
对于C,|M1M2|·|M3M4|=(|M1F|-2)(|M4F|-2)=x1x2=4,为定值,故C正确.
对于D,|FM1|·|M1M2|=|M1F|·(|M1F|-2)=(x1+2)x1,不为定值,故D不正确.
12.在关于x的不等式x2-axex-aex>0(其中e=2.71828…为自然对数的底数)的解集中,有且仅有两个正整数,则实数a的取值范围为 ( )
世纪金榜导学号
A. B.
C. D.
【解析】选D.x2-axex-aex>0⇔x2>a(x+1)ex,
设f(x)=x2,g(x)=a(x+1)ex,
则原不等式等价于f(x)>g(x).
若a≤0,则当x>0时,f(x)>0,g(x)<0,
所以原不等式的解集中有无数个正整数.
所以a>0.
因为f(0)=0,g(0)=a>0,
所以f(0)<g(0).
当f(1)≤g(1),即a≥时,
设h(x)=f(x)-g(x)(x≥2).
则h′(x)=2x-a(x+2)ex≤2x-.
设φ(x)=2x-(x≥2),
则φ′(x)=2-≤φ′(1)=0,
所以φ(x)在[2,+∞)上为减函数,
所以φ(x)≤φ(2)=2(2-e)<0,
所以当x≥2时,h′(x)<0,
所以h(x)在[2,+∞)上为减函数.
所以h(x)≤h(2)=4-3ae2≤4-<0.
所以当x≥2时,不等式f(x)<g(x)恒成立,
所以原不等式的解集中没有正整数.
所以要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,
则所以
解得≤a<.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.在三棱锥D-ABC中,AB=BC=DB=DC=1,当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为________.
【解析】在三棱锥D-ABC中,
当且仅当AB⊥平面BCD时,三棱锥体积达到最大,
此时,设外接球的半径为R,球心为O,球心O在平面BDC内的投影为点F,则有R2=OB2=OF2+BF2=+=,
表面积为S=4πR2=.
答案:π
14.已知数列{an}满足当2k-1-1<n≤2k-1(k∈N*,n∈N*)时an=,若数列{an}的前n项和为Sn,则满足Sn>10的n的最小值为________.
【解析】由题意可知数列{an}中an=的有2k-1项,这2k-1项记作第k组,
第k组中所有项的和为,
所以前5组所有项的和为=,且前5组的项数为1+21+22+23+24=31.
第6组有32项,各项均为,即.
由×26<,×27>可得满足Sn>10的n的最小值为31+27=58.
答案:58
15.若实数x,y,z满足x+2y+3z=1,x2+4y2+9z2=1,则z的最小值是________.
【解析】x+2y+3z=1,则x=1-2y-3z,据此可得:
(1-2y-3z)2+4y2+9z2=1,
整理可得4y2+(6z-2)y+(9z2-3z)=0,
满足题意时上述关于y的一元二次方程有实数根,
则Δ=(6z-2)2-16(9z2-3z)≥0,
整理可得(3z-1)(9z+1)≤0,
则-≤z≤.
则z的最小值是-.
答案:-
16.点F1,F2分别是椭圆C:+y2=1的左、右两焦点,点N为椭圆C的上顶点,若动点M满足:||2=2·,则|+2|的最大值为__________. 世纪金榜导学号
【解析】设M(x0,y0),由+y2=1,
得N(0,1),F1(-1,0),F2(1,0),
则由||2=2·,
可得+(y0-1)2=2-2+2,
化为+(y0+1)2=4,可设
=(-1-2cos α,1-2sin α),
2=(2-4cos α,2-4sin α),
+2=(1-6cos α,3-6sin α),
|+2|=
=
=
≤=6+,
其中cos φ=,
即|+2|的最大值为6+.
答案:6+
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