初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课堂检测

这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试课堂检测，共14页。试卷主要包含了下列各组数据中，不是勾股数的是，下列选项中等内容，欢迎下载使用。
（满分120分）


姓名：___________班级：___________学号：___________


一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）


A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9


2．如图，在三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的大小有可能是（ ）





A．1B．2C．3D．5


3．满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ）


A．a＜b+cB．a＞b﹣cC．a＝b＝cD．a2＝b2﹣c2


4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）


A． B． C． D．


5．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）


A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米


6．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（ ）km．





A．4B．5C．6D．


7．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）





A．9mB．14mC．11mD．10m


8．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）





A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2﹣b2＝c2D．a2+b2＝c2


二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）


9．（4分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为 ．





10．（4分）如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移 m．





11．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且a+c＝9，a﹣c＝4，则b的值是 ．


12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝ ．





13．（4分）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距 海里．





14．（4分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．





15．（4分）如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．





16．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a＝4，b＝3，则大正方形的面积是 ．





三．解答题（共7小题，满分64分）


17．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的三条边．


（1）如果a＝3，b＝4，求c的长； （2）如果c＝13，b＝12，求a的长．

















18．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上的一点，且BD＝12cm，CD＝16cm．


（1）求证：△BCD是直角三角形；


（2）求△ABC的周长，











19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．











20．（8分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？














21．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝6.5千米，CD＝6千米，AD＝2.5千米．


（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；


（2）求原来的路线BC的长．











22．（12分）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．


（2）试用勾股定理解决以下问题：


如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．


（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．















































23．（12分）勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：


（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）


（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？


（3）对于偶数，这个关系 （填“成立”或“不成立”）．


（4）你能用以上结论解决下题吗？


20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2















































参考答案


一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．解：A、32+42＝52，是勾股数；


B、72+242＝252，是勾股数；


C、82+152＝172，是勾股数；


D、52+62≠92，不是勾股数．


故选：D．


2．解：方法1：由垂线段最短，可得AB的大小有可能是5．


方法2：在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，


则AB＝＝＝5．


故选：D．


3．解：当a2＝b2﹣c2，可得：a2+c2＝b2，


所以三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形，


故选：D．


4．解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．


B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．


C、利用A中结论，本选项不符合题意．


D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，


故选：B．


5．解：梯脚与墙角距离：＝0.7（米），


∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，


∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．


故选：B．


6．解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，


由勾股定理得：


在Rt△ADE中，


DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，


在Rt△BCE中，


CE2＝BC2+BE2＝62+x2，


由题意可知：DE＝CE，


所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，


解得：x＝4km．


所以，EB的长是4km．


故选：A．


7．解：如图，作BD⊥OC于点D，


由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，


∵OC＝6m，


∴DC＝4m，


∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），


∴大树的高度为5+5＝10（m），


故选：D．





8．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，


（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，


整理得：a2+b2＝c2．


故选：D．


二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）


9．解：∵CM＝3，CN＝6，∠MCN＝90°，


∴MN2＝CM2+CN2＝32+62＝45，


∴正方形MNPQ的面积＝MN2＝45，


故答案为：45．


10．解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，


∴BC＝＝5，


∵AE＝7，


∴CE＝12﹣7＝5，


∴CD＝＝12，


∴BD＝CD﹣BC＝7，


∴梯子底端B向外移7m，


故答案为：7．


11．解：∵a+c＝9，a﹣c＝4，


∴a＝，c＝，


∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，


∴b＝＝＝＝6，


故答案为：6．


12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，


由勾股定理，得BC═12，


∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，


∴CD＝DE，


×AC×CD+×AB×DE＝×AC×BC，


即×9×DE+×15×DE＝×9×12，


解得：DE＝4.5．


故答案为：4.5．





13．解：由题意可得：AO＝8海里，BO＝15海里，∠AOB＝180°﹣25°﹣65°＝90°，


故AB＝＝17（海里），


答：两轮船相距17海里．


故答案为：17．





14．解：∵AC⊥BD，


∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，


由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，


AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，


∴AB2+CD2＝AD2+BC2，


∵AD＝2，BC＝4，


∴AB2+CD2＝22+42＝20．


故答案为：20．


15．解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，


则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，


AC＝×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，


由勾股定理得：AB＝＝25π．


故答案为：25π．





16．解：由勾股定理可知大正方形的边长＝＝＝5，


∴大正方形的面积为25，


故答案为25．


三．解答题（共7小题，满分64分）


17．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，


∴c＝＝＝5；


（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝13，b＝12，


∴a＝＝＝5．


18．（1）证明：∵在△BDC中，BC＝20cm，BD＝12cm，CD＝16cm．


∴BD2+CD2＝BC2，


∴∠BDC＝90°，


∴△BCD是直角三角形；


（2）解：设AB＝AC＝xcm，则AD＝（x﹣12）cm，


在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，


即（x﹣12）2+162＝x2，


解得：x＝15，


即AB＝AC＝15cm，


∵BC＝20cm，


∴△ABC的周长是AB+AC+BC＝15cm+15cm+20cm＝50cm．


19．解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，


∴BC＝＝＝5；


∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，


∴CD2+BD2＝BC2，


∴△BCD是直角三角形，


∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝×12×5+×3×4＝36．


20．解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．





则有CA＝DA＝100m，


在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），


∴CD＝2CB＝120m，


则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．


答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．


21．解：（1）是，


理由：∵62+2.52＝6.52，


∴CD2+AD2＝AC2，


∴△ADC为直角三角形，


∴CD⊥AB，


∴CD是从村庄C到河边最近的路；


（2）设BC＝x千米，则BD＝（x﹣2.5）千米，


∵CD⊥AB，


∴62+（x﹣2.5）2＝x2，


解得：x＝8.45，


答：路线BC的长为8.45千米．


22．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，


也利用表示为ab+c2+ab，


∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，


即a2+b2＝c2；


（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，


∴斜边为5，


∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，


∴h＝，


故答案为；


（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，


∴边长为a﹣2b，


由此可画出的图形为：





23．解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，


故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；


（2）a2+b2＝c2，理由是：


∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，


∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1


c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1


∴a2+b2＝c2；


（3）对于偶数，这个关系不成立，


故答案为：不成立；


（4）当2n+1＝2019时，n＝1009，


∴当n＝1009时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，


∵a2+b2＝c2；


∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2


＝0．





题号
一
二
三
总分
得分
a
b
c
1
3＝1+2
4＝2×1×2
5＝2×2+1
2
5＝2+3
12＝2×2×3
13＝4×3+1
3
7＝3+4
24＝2×3×4
25＝6×4+1
4
9＝4+5
40＝2×4×5
41＝8×5+1
…
…
…
…
n
a＝
b＝
c＝