初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试图片课件ppt

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试图片课件ppt，共55页。PPT课件主要包含了二次函数的定义，x＜1或x＞3等内容，欢迎下载使用。

考 点 知 识 梳 理
1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c及相关符号的确定5、二次函数图象的平移6、二次函数与一元二次方程的关系7、二次函数的应用题8、二次函数的综合运用
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式。
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
【例1】下列函数中是二次函数的有（　） ①y=x+ ；②y=3（x-1）2+2； ③y=（x+3）2-2x2；④y= +x． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
1、y=-x²， ，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2、二次函数的图像及性质
【例1】已知 是抛物线y=-2x2上的点，则（ ）
点拨：比较函数值常用的方法有三种：(1)代入法：将自变量的值代入解析式，直接求出函数值进行比较；(2)图象法：画出二次函数的图象（简图），根据自变量在图象上际出点的位置，从而得出函数值的大小；(3)性质法：根据二次函数的图象与性质，由自变量的大小得出函数值的大小.
【例2】对于二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A.最小值为2 B.图像与y轴没有公共点 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.其图像的对称轴是y轴
解析：利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案. A.开口向上，有最小值2，正确；B.图像与y轴交于点 (0，2)，错误；对称轴为y轴，开口向上，所以当x<0时， y随着x的增大而减小；C，D正确，故选B．
1．(2017·玉林)对于函数 的图象，下列说法不正确的是( ) A．开口向下 B．对称轴是x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交
2. 二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值为（　　 ） A．1 B．-1 C．2 D．-2
3. (2014·云南)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
方法总结：解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
3、求解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);
(2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;
(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.
拓展: 一些常见二次函数图像的解析式 1. 若抛物线的顶点是原点，设2. 若抛物线过原点，设3. 若抛物线的顶点在y轴上，设4. 若抛物线经过y轴上一点，设5. 若抛物线知道顶点坐标（h，k），设
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x
练习1、抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1，顶点为(2,8),它的关系式为
练习3、如图，函数 的部分图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A（1，0），B（0，3），对称轴是 x=-1，在下列结论中，错误的是（）A、顶点坐标为（-1，4）B、函数的解析式为 C、当 x＜0时，y 随 x 的增大而增大D、抛物线与 x 轴的另一个交点是（-3，0）
练习4.已知抛物线y=-x2+4交x轴于A，B两点，顶点是C， 求△ABC的面积.
5.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C(-3，6)在该抛物线上，求S△ABC的值．
解：(1)由题得，A(-1，0), B(O，-1)，将x=0，y=-1 代入抛物线解析式 得a=-1，则抛物线解析式为 y=-(x+1)2=-x2-2x-1．
(2)若点C(-3，6)在该抛物线上，求S△ABC的值
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
由抛物线与y轴的交点位置确定.
由抛物线的开口方向确定
（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y>0,则a+b+c>0当x=1时，y<0，则a+b+c<0当x=1时，y=0，则a+b+c=0 ( 6 ) a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。当x=-1，y>0,则a-b+c>0当x=-1，y<0,则a-b+c<0当x=-1，y=0,则a-b+c=0
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（　　） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　） A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ 　）
2、函数 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
解析：由图像可知，抛物线与x轴有两个交点，即 ，对应有两个x的值，∴方程 有两个不相等的实数根，∴ ，故①正确；∵ ，∴ ，∴ ，故②正确；当 时， ，∴ 。故③不正确；∵图像过点A（3,0），对称轴为 X=1 ，根据抛物线的对称性与x轴的另一个交点坐标为（ -1 , 0 ），故④正确。故应选D。
A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点 ，有下列结论：①abc＞0；②a-2b+4c=0； ③25a﹣10b+4c=0； ④3b+2c＞0； ⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（ 　）
6.二次函数 的图像如图所示且 ， ，则P、Q的大小关系为 。
解析：∵抛物线的开口向下，∴ ；抛物线过原点，∴∵ 对称轴在的右边，∴ ，∴ ，∴ ，又∵ ， ，∴ ，∴ ；∵ 当 时 ， ，∴ 当 时， ，∴ 。∴ ，∵ ，∴
5、二次函数图象的平移
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
在原有函数的基础上“h”值正向右移。负向左移；“k”值正向上移，负向下移。
1．(2017·常德)将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
2．将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 　) A． B． C． D．
6、二次函数与一元二次方程和不等式的关系
1、 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当x12、当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x10,ax2+bx+c>0 ;当xx2时，y<0,即ax2+bx+c<0.
3、 当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c<0.
4、当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y<0,即ax2+bx+c<0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c>0.
5、当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
无论 x 取何值，都不可能有y≥0。
与x轴两交点之间的距离
【例1】抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点为（　）　 A.二个交点 B.一个交点 C.无交点 D.三个交点
解析：解答此题要明确抛物线y=x2-2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2-2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．因为x2-2x+1=0中，Δ=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点有两个．答案：A
解：需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．
①当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则Δ=（2m+2）2-8（m2-1）=0，解得 m=3，m=-1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【例3】（2015•大连模拟）如图，直线y=x+m和抛 物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和 B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m 的解集 为　 　．
解析：根据已知条件和图 象找出直线y=x+m和 抛物线y=x2+bx+c的交 点，即可求出不等式 x2+bx+c＞x+m的解集． ∵直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点 A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m的解 集为x＜1或x＞3；
(3)一元二次方程 的两个根是 , 那么二次函数 与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.