人教版新课标A选修2-31.3二项式定理巩固练习

1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

[综合训练·能力提升]

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是

A．n，n＋1　　　　　 　　  B．n－1，n

C．n＋1，n＋2              D．n＋2，n＋3

解析　该式展开共2n＋2项，中间有两项：第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．

答案　C

2．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为

A．3　　　　 B．6　　　　 C．9　　　　 D．12

解析　解法一　x3＝[2＋(x－2)]3＝C23＋C22(x－2)＋C2(x－2)2＋C(x－2)3＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，故a2＝6.

解法二　右边x2的系数为Ca2＋C(－2)a3＝a2－6a3，右边x3的系数为a3，

利用左右两边对应系数相等，得故a2＝6.

答案　B

3．关于(a－b)10的说法，错误的是

A．展开式中的二项式系数之和为1 024

B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解析　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．

答案　C

4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于

A．64       B．32        C．63        D．31

解析　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.

答案　B

5．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是

A．7        B．－7       C．21        D．－21

解析　由题意知2n＝128，∴n＝7.

设二项式的展开式中第r＋1项为含的项．则Tr＋1＝C·37－r·(－1)r·x7－r，令7－r＝－3，得r＝6.

∴的系数为C·37－6(－1)6＝21.

答案　C

6．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于

A．23 015       B．－23 014         C．23 014       D．－23 008

解析　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.

答案　B

二、填空题（每小题5分，共15分）

7．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为________．

1

3　3

5　6　5

7　11　11　7

9　18　22　18　9

…

解析　由1，3，5，7，9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.

答案　2n－1

8．(a＋x)(1＋x)4的展开式中，x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．

解析　设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其所有项的系数之和为f(1)＝(a＋1)·(1＋1)4＝(a＋1)×16，又奇数次幂项的系数和为[f(1)－f(－1)]，∴×(a＋1)×16＝32，∴a＝3.

答案　3

9．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1·x＋a2·x2＋…＋a50·x50，则a3等于________．

解析　a3＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C.

答案　C

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10．（10分）设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．

(1)a0；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.

解析　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.

(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)

所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.

(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.与(2)中(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.

(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100

＝1.

(5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，所以a2k－1<0(k∈N*)．

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.

答案　(1)2100　(2)(2－)100－2100

(3)　(4)1　(5)(2＋)100

11．（12分）已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.

(1)求x2的系数取最小值时n的值；

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．

解析　(1)由已知C＋2C＝11，

所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝＋.

因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，

所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，

设这时f(x)的展开式为

f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

答案　(1)3　(2)30

12．（13分）已知.

(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解析　(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0.

解得n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

所以T4的系数＝C23＝，

T5的系数＝C24＝70.

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

所以T8的系数＝C27＝3 432.

(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.

所以n＝12或n＝－13(舍去)．

设Tk＋1项的系数最大，

因为＝(1＋4x)12，

所以

所以9.4<k<10.4，所以k＝10.

所以展开式中系数最大的项为T11，

T11＝C··210·x10＝16 896x10.

答案　(1)当n＝7时，T4和T5的二项式系数最大，此两项的系数分别是，70　当n＝14时，T8的二项式系数最大，它的系数为3432　(2)T11＝16 896x10