2021高考数学大一轮复习考点规范练37数学归纳法理新人教A版

考点规范练37　数学归纳法

　考点规范练A册第25页　 

基础巩固

1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.

2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是(　　)

A.1 B.9

C.10 D.n>10,且n∈N*

答案:C

解析:210=1024>103.故选C.

3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是(　　)

A.P(n)对于所有的自然数n都成立

B.P(n)对于所有的正奇数n都成立

C.P(n)对于所有的正偶数n都成立

D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立

答案:B

解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.

又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.

4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N*)时的情况,只需展开(　　)

A.(k+3)3 B.(k+2)3

C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3

答案:A

解析:假设n=k(k∈N*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.

5.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:

(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,

所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法(　　)

A.过程全部正确

B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

答案:D

解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误.

6.已知凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为(　　)

A.f(n)+n+1 B.f(n)+n

C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2

答案:C

解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C.

7.由下列不等式:1>,1+>1,1++…+,1++…+>2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.

解:一般结论:1++…+(n∈N*),证明如下:

(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,

即1++…+

当n=k+1时,1++…++…++…++…+

∴当n=k+1时不等式成立.

根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立.

8.观察下列等式:

1=1,

2+3+4=9,

3+4+5+6+7=25,

4+5+6+7+8+9+10=49,

……

(1)写出第5个等式;

(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想.

解:(1)第5个等式为5+6+7+…+13=81.

(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

证明:①当n=1时显然成立;

②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时成立,

即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.

则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)

=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1

=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)

=4k2-4k+1+8k

=(2k+1)2

=[2(k+1)-1]2.

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.

根据①②知,等式对任何n∈N*都成立.

9.设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.

(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的结论.

(1)解∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=猜想an=(n∈N*).

(2)证明①易知当n=1时,猜想正确.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,即ak=,

则ak+1=f(ak)=

故n=k+1时,猜想正确.

由①②知,对于任何n∈N*,都有an=

能力提升

10.利用数学归纳法证明不等式1++…+<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了(　　)

A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项

答案:D

解析:1++…++…+,共增加了2k项.

11.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为(　　)

A B

C D

答案:C

解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2.

解得a2=,S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3.

解得a3=

同理可得a4=,故猜想an的表达式为

12.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是　. 

答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2

解析:∵f(k)=12+22+…+(2k)2,

∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,

∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.

13.用数学归纳法证明:2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.

证明(1)当n=1时,21+2·31+5×1-4=25,能被25整除,命题成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,2k+2·3k+5k-4能被25整除.

则当n=k+1时,原式=2k+3·3k+1+5(k+1)-4

=6×2k+2·3k+5(k+1)-4=6[(2k+2·3k+5k-4)-5k+4]+5(k+1)-4=6(2k+2·3k+5k-4)-30k+24+5k+5-4=6(2k+2·3k+5k-4)-25(k-1).

∵6(2k+2·3k+5k-4)和-25(k-1)都能被25整除,

∴当n=k+1时,命题仍成立.

综上(1)(2)可知,2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.

高考预测

14.已知f(n)=1++…+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为　　　　　　　　　　　　　. 

答案:f(2n)>(n≥2,n∈N*)

解析:因为f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,所以当n≥2时,有f(2n)>

故填f(2n)>(n≥2,n∈N*).