2021高考数学大一轮复习考点规范练49椭圆理新人教A版

考点规范练49　椭圆

　考点规范练A册第33页　 

基础巩固

1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)

A=1 B=1 C=1 D=1

答案:A

解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.

又椭圆的焦点在x轴上,

∴椭圆方程为=1.

2.(2019北京,理4)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则(　　)

A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b

答案:B

解析:椭圆的离心率e=,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.

3.(2019河南洛阳期中)“-3<m<5”是“方程=1表示椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:要使方程=1表示椭圆,只需满足解得-3<m<5且m≠1,因此,“-3<m<5”是“方程=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.

4.已知点P(x1,y1)是椭圆=1上的一点,F1,F2是焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是(　　)

A B.12 C.16(2+) D.16(2-)

答案:B

解析:∵椭圆方程为=1,∴a=5,b=4,c==3,

因此椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0).

根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=23×4=12,故选B.

5.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(　　)

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

答案:B

解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径,

所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.

6.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,

∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.

设点P(x,y),由PF1⊥PF2,

得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,

联立方程组整理,得x2=(2c2-a2)0,

解得e,又0<e<1,e<1.故选B.

7.(2019浙江,15)已知椭圆=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是　　　　. 

答案:

解析:如图,

设PF的中点为M,椭圆的右焦点为F1.由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,设P(x,y)可得(x-2)2+y2=16,与椭圆方程=1联立,解得x=-,x=(舍),因为点P在椭圆上且在x轴的上方,所以P-,所以kPF=

8.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为-1.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)已知椭圆E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若=2=(λ>0),求直线PB的斜率.

解:(1)由题意得e=,①

a-c=-1,②

由①②解得a=,c=1,∴b==1.

∴椭圆E的标准方程是+y2=1.

(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.

由消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,

则y0·y1=-

,∴m=

=-=-=(m2+2)=(x0+1)2+2=(x0+1)2+2-=3+2x0.

∴3+2x0=2,解得x0=-,∴P

∴kPB==

故直线PB的斜率为±

9.已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程;

(2)若k=1,求|AB|的最大值;

(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.

解:(1)由题意得

解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由得4x2+6mx+3m2-3=0,

所以x1+x2=-,x1x2=

所以|AB|=

=

=

=

当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得+3=3,+3=3.

直线PA的方程为y=(x+2).

由得[(x1+2)2+3]x2+12x+12-3(x1+2)2=0.

设C(xC,yC),所以xC+x1=

所以xC=-x1=

所以yC=(xC+2)=

设D(xD,yD),同理得xD=,yD=

记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,

则kCQ-kDQ==4(y1-y2-x1+x2).

因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.

故y1-y2=x1-x2.

所以直线l的斜率k==1.

能力提升

10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)

A+y2=1 B=1

C=1 D=1

答案:B

解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.

由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.

又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,

故|AF1|=2n.

由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,

得解得

∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b)=b.

过点B作x轴的垂线,垂足为点P.

由题意可知△OAF2∽△PBF2.

又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=

又=b,

∴|BP|=b.∴点B

把点B坐标代入椭圆方程=1中,得a2=3.

又c=1,故b2=2.

所以椭圆方程为=1.

11.椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足的点P,则椭圆的离心率的范围是　　　　　. 

答案:

解析:∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P,

∴||·||cos<>=,

4c2=-2||·||cos<>,

||+||=2a,

可得+2||·||=4a2,

∴4c2=4a2-2||·||-b2.

∴2||·||=3a2-3c2≤2,

当且仅当||=||时,等号成立.

可得,解得e

又0<e<1,∴e

12.如图,曲线C由左半椭圆M:=1(a>b>0,x≤0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.

(1)若|PQ|的最大值为4+,求半椭圆M的方程;

(2)若直线PQ过点A,且=0,,求半椭圆M的离心率.

解:(1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+=a+2+,解得a=2.

∴半椭圆M的方程为+y2=1(-2≤x≤0).

(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,∴xA+xQ=

∵xA=0,∴Q

=0,=(xQ,yQ-1),=(xP,yP-1),

∴xP+xQ=0,yP+yQ=2.

∴xP=,yP=

,

=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,

解得k=,∴P

代入椭圆方程可得=1,解得a2=

∴半椭圆M的离心率e=

高考预测

13.椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APF2=∠BPF2,求直线AB的方程.

解:(1)由题意可得|PF2|==3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E的方程为=1.

(2)易知点P的坐标为(2,3).

因为∠APF2=∠BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.

设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线PA的方程为y-3=k(x-2),

由

可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,

所以x1+2=,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),

可得x2+2=,

所以x1+x2=,x1-x2=,

kAB=

=,

所以满足条件的直线AB的方程为y+1=(x-1),即为x-2y-3=0.