2021高考数学大一轮复习考点规范练50双曲线理新人教A版

考点规范练50　双曲线

　考点规范练B册第35页　 

基础巩固

1.若双曲线=1(a>0)的一条渐近线与直线y=x垂直,则此双曲线的实轴长为(　　)

A.2 B.4 C.18 D.36

答案:C

解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-x,所以-=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.

2.(2019浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)

A B.1 C D.2

答案:C

解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.所以c=,双曲线的离心率e=

3.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　)

A=1 B=1 C=1 D=1

答案:A

解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.

由双曲线的定义知a=4,b=3.

故曲线C2的标准方程为=1.

4.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.(1,) B.(1,) C.(1,2) D.(,3)

答案:A

解析:由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2-1=,∴|AB|=

∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,

∴∠AF2F1<,∴tan∠AF2F1=,e=>1.

e-

解得e∈(1,),故选A.

5.(2019全国Ⅲ,理10)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A B C.2 D.3

答案:A

解析:由已知可得a=2,b=,则c=,∴F(,0).

∵|PO|=|PF|,∴xP=

又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,

∴yP=

∴S△PFO=|OF|·|yP|=故选A.

6.设F1和F2为双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

答案:B

解析:∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,

设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=,

=2c.∴c2+4b2=4c2,∴c2+4(c2-a2)=4c2.

∴c2=4a2,即c=2a,b=a.

∴双曲线的渐近线方程为y=±x,即为y=±x.故选B.

7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是　　　　　. 

答案:2

解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0.

所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为=b,解得b=c,

因此a2=c2-b2=c2-c2=c2,a=c,e=2.

8.双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为　　　　　. 

答案:9

解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2+4a=2+8=9.

9.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.

解:(1)由题意知a=2,故可得一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,

所以

所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,

则x1+x2=16,y1+y2=12.

故解得

由=t,得(16,12)=(4t,3t),故t=4,点D的坐标为(4,3).

10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.

解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=

又焦距2c=4,所以虚半轴长b=

所以W的方程为=1(x).

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而=x1x2+y1y2==2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,

则x1+x2=,x1x2=,

所以=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2

==2+

又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以>2.

综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.

能力提升

11.已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)

A.(1,+∞) B C D

答案:C

解析:由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.

又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,

所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,

化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,

即有2c2-a2≤4a2,可得ca,

由e=>1可得1<e,故选C.

12.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

答案:B

解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,

又O为F1F2的中点,

∴|MF2|=2.

∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,

∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.

13.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.

又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.

在△PF1F2中,由余弦定理,

得cos∠F1PF2=e2.

要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,

∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,即e的最大值为

14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.

(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;

(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.

解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,

则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

故解得-<k<,且k≠±1.

双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).

(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),

由(1)知,C与l联立的方程组可化简为(1-k2)x2+2kx-2=0.

故

当A,B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;

当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,

S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.

故S△OAB=|x1-x2|=,

即(x1-x2)2=(2)2,即=8,

解得k=0或k=±又-<k<,且k≠±1,

所以当k=0或k=±时,△AOB的面积为

15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(1)求C1,C2的方程;

(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.

解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

因为点P在双曲线x2-=1上,

所以=1.故=3.

由椭圆的定义知

2a2==2

于是a2==2.

故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.

(2)不存在符合题设条件的直线.

①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,

所以直线l的方程为x=或x=-

当x=时,易知A(),B(,-),所以||=2,||=2

此时,||≠||.

当x=-时,同理可知,||≠||.

②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是上述方程的两个实根,

从而x1+x2=,x1x2=

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线l与C2只有一个公共点,

所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

化简,得2k2=m2-3,

因此=x1x2+y1y2=0,

于是+2-2,

即||2≠||2,故||≠||.

综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.

高考预测

16.已知双曲线=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为(　　)

A.1+ B C D

答案:A

解析:由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=>c,|AF|=a+c>c,|AB|==c,

∵△ABF为等腰三角形,∴只能是|AF|=|BF|,

∴a+c=a2+c2+2ac=c2+c2-a2.

∴c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+(舍去负值),选A.