2021高考数学大一轮复习考点规范练51抛物线理新人教A版
展开考点规范练51 抛物线
考点规范练A册第35页
基础巩固
1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)
答案:B
解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,
因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.- B.- C D
答案:B
解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=
设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=-
3.(2019全国Ⅱ,理8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案:D
解析:∵y2=2px的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±,0),∴3p-p=,解得p=8,故选D.
4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
答案:B
解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
答案:A
解析:∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选A.
6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积为9,则p=( )
A B.3 C D
答案:C
解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=x,与y2=2px联立得B(6p,2p),因为△AOB的面积为9,所以(4p)2=9,解得p=故选C.
7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案:A
解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=|AF|,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,
∴|BN|=3,∴|AM|=6,故选A.
8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= .
答案:6
解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).
又M为FN的中点,则M
因为点M在抛物线C上,所以=8,
即a2=32,即a=±4
所以N(0,±4).
所以|FN|==6.
9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+,求λ的值.
解:(1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,
即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,
于是y1=-2,y2=4,
从而A(1,-2),B(4,4).
设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4-2).
又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
10.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-
从而-,得t=-
所以l的方程为y=x-
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=故|AB|=
能力提升
11.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=( )
A.3 B.6 C.6 D.8
答案:C
解析:∵3|FA|=|FB|,∴根据抛物线的定义,可得3=8+,解得p=2,
∴抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=2,x2=4,
∴x1+x2=6故选C.
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|,若=2,则|AF|= .
答案:1
解析:由抛物线的定义得|MF|=x0+
∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.
∵圆被直线x=截得的弦长为|MA|,圆心到直线x=的距离为|MA|,
∴|MA|=2,∴2=x0,解得x0=p.
∴M(p,2),∴2p2=8,∴p=2.
=2,∴|AF|=|MA|=p=1.
13.设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.
(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.
(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).
设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,
则l2:y=-k(x-1)+2,由
得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,
∴x1×1=,
同理x2=
∴x1+x2=,x1-x2=-
∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=
∴kMN==-1,直线MN的斜率为定值-1.
高考预测
14.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为( )
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x
答案:B
解析:过点A作AB⊥x轴于点B,则Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,
所以|BF|=|AF|cos∠AFB=|AF|=1,|AB|=|AF|sin∠AFB=
设点A的坐标为(x0,,
由解得p=1.
所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.
