2021高考数学大一轮复习考点规范练31等比数列及其前n项和理新人教A版

考点规范练31　等比数列及其前n项和

　考点规范练A册第20页　 

基础巩固

1.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)

A B.9 C.±9 D.35

答案:B

解析:∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.

又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,

∴a1·a2·a25·a48·a49==9故选B.

2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)

Af Bf Cf Df

答案:D

解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,则第八个单音的频率为f=f.

3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)

A.7 B.5 C.-5 D.-7

答案:D

解析:∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.

联立可解得

当时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;

当时,q3=-2,故a1+a10=+a7q3=-7.

综上可知,a1+a10=-7.

4.(2019云南玉溪五调)已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与a4的等差中项为,则a1的值为(　　)

A.4 B.2 C D

答案:A

解析:设等比数列{an}的公比为q,则q>0.由题意,得a5+a4=1,a3q2+a3q=1,q2+q=1,2q2+3q-2=0,解得q=或q=-2(舍去),故a1==4.

5.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.-24 B.-3 C.3 D.8

答案:A

解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+(-2)=-24,故选A.

6.(2019广西崇左天等高级中学高三模拟)已知数列{an}为等比数列,首项a1=2,数列{bn}满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=(　　)

A.8 B.16 C.32 D.64

答案:C

解析:由题意知{bn}为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.

7.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　　. 

答案:-

解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+(-1)=4a1-6.

∵S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-

8.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　　. 

答案:1

解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

由题意知-1+3d=-q3=8,

即解得

故=1.

9.(2019广西桂林、崇左联合模拟)已知数列{an}满足an=2an-1+1(n≥2),a4=15.

(1)求a1,a2,a3;

(2)判断数列{an+1}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

解:(1)由an=2an-1+1及a4=15知a4=2a3+1,

解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.

(2)由an=2an-1+1知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1),

故{an+1}是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列.

(3)∵an+1=(a1+1)·2n-1,∴an=2n-1.

∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.

10.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{bn}的前n项和.

解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.

所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.

记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d.

∵S4=4(a3+1),3a3=5a4,

解得

∴an=11-2n.

设数列{bn}的公比为q.∵b1b2=b3,2b1=a5,

解得bn=

(2)由(1)知,Sn=10n-n2.

由an=11-2n≤0可知n≥5.5,

即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0.

故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;

当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50.

于是Tn=

能力提升

12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:D

解析:∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.

∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.

又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,或

解①得解②得

∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.

13.如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为　　　　　. 

答案:

解析:由题意,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到1023个正方形,则1+2+…+2n-1=1023,解得n=10,故最小的正方形的边长为

14.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　. 

答案:64

解析:设{an}的公比为q.

由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,

两式相除得,

解得q=,a1=8,所以a1a2…an=8n,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,

又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为=26=64.

15.已知等比数列{an}与等差数列{bn},a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.

(1)求{an},{bn}的通项公式;

(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.

解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,

则解得(舍)或

故an=2n-1,bn=n.

(2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=

由Sn+Tn>100,得2n+>101.

是单调递增数列,且26+=85<101,27+=156>101,∴n的最小值为7.

高考预测

16.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).

(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵an+1=an+6an-1(n≥2),

∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).

又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,

∴an+2an-1≠0(n≥2),=3(n≥2),

∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.

(2)解由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,∴an-3n≠0,

∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.