【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
一、单选题（每题5分，共60分）
1．设全集U＝R，集合A＝≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0≤x<3} B．{x|0≤x≤3} C．{1,2} D．{0,1,2}
2．对于实数，“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下面是关于复数的四个命题：；；的共轭复数为；的虚部为.其中,真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程恰好有两个实根
B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根
D．方程没有实根
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A． B． C． D．
6．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D． 1
7．执行如图所示的程序框图，当输入的的值为4时，输出的的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.
A．x＜4？ B．x＜5？ C． D．
8．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 （ ）
A．123 B．185 C．382 D．492
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．77 C．75 D．139
11．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．设，则=
14．函数y=x2㏑x的单调递减区间为
15．若实数满足，则的最小值为
16．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为
三、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）设，解不等式.
18. （本题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出圆C的参数方程；（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的极坐标．
19．（本题满分12分）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 | 20 | 30 | 40 | 50 |
每周学习诗词的平均时间 | 3 | 4 |
由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：，
20．（本题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，哈尔滨市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.哈六中数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，在高三年级中随机选取名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于小时的有人，在这人中检测考试中数学分数不足分的有人；在每周线上学习数学时间不足于小时的人中，在检测考试中数学分数不足分的占.
（1）请完成列联表；并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
| 分数不少于分 | 分数不足分 | 合计 |
线上学习时间不少于小时 |
|
|
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线上学习时间不足小时 |
|
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|
合计 |
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（2）在上述样本中从分数不足于分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于小时和线上学习时间不足小时的学生共名，若在这名学生中随机抽取人，求这人每周线上学习时间都不足小时的概率.（临界值表仅供参考）
（参考公式，其中）
21．（本题满分12分）设函数，其中,，曲线在点处的切线平行于x轴.
（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数极值点．
22．（本题满分12分）已知关于x的函数，其导函数.
（1）如果函数在处有极值，求函数的表达式；
（2）当 时，函数的图象上任一点P处的切线斜率为k，若，求实数b的取值范围．
参考答案
一．选择题
1.D 2.A3.B4.D5.A6.D7.D8.A9.C10.C11.C12.C
二．填空题
13． 14. (0,1)或 都行 15. 16.
三．解答题
17．当x<0时，原不等式可化为，解得x<0：
当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>1，即x<0，无解；
当x>时，原不等式可化为x+2x–1>1，解得x>
综上，原不等式的解集为.
18．（Ⅰ）由，得，从而有，所以．
（Ⅱ）设，又，则，
故当时，取最小值，此时点的直角坐标为，所以点的极坐标为
19．（1）设污损的数字为，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得
，，即，记所求事件为A；
（2），，，
又，，
，，，时，.
答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为小时.
20. （1）列联表如下：
| 分数不少于分 | 分数不足分 | 合计 |
线上学习时间不少于小时 | |||
线上学习时间不足小时 | |||
合计 |
，
有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）抽到线上学习时间不足于小时的学生人，设为、、、，
线上学习时间不足小时的学生人，设为，所有基本事件有：、、、、、、、、、，共种，其中人每周线上学习时间都不足小时有：、、、、、，共种，
故人每周线上学习时间都不足小时的概率为（或）.
21.
（Ⅰ）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值.（过程应有极值表略）。
22．（1）因为函数在处有极值所以
解得或 （i）当时，所以在上单调递减，不存在极值
（ii）当时，
时，，单调递增；时，，单调递减
所以在处存在极大值，符合题意综上所述，满足条件的值为
（2）当时，函数设图象上任意一点，则因为，所以对任意，恒成立
所以对任意，不等式恒成立设，则当时， 故在区间上单调递减所以对任意， 所以
