【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数 B．模型2的相关指数
C．模型3的相关指数 D．模型4的相关指数
2．已知是虚数单位，复数，若在复平面内，复数与所对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为1 B．
C． D．复平面内与复数对应的点在第三象限
5．观察数组：，，，------则的值不可能是（ ）A． B． C． D．
6．直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．执行右图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知，，，求的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数的导函数为，则图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10．函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知的图像与轴相切于非原点的一点，且，
那么下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．的极小值为0
12．已知是可导的函数，且对于恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置）
13．已知函数的导函数是，且满足，则
14．下列说法正确的是 （填序号）
（1）已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加个单位
（2）若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题的充分不必要条件
（3）若命题，，则，
（4）已知随机变量，若，则
15．函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则
16．函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）
为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线的参数方程
为（其中为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）射线与曲线分别交于点（且点均异于原点），
当时，求的最大值.
19.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
20.（本小题满分12分）
已知函数，，曲线在点处的切线
与轴垂直
（1）求的值；
（2）求证：
- （本小题满分12分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） | |||||||
人数 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
| 潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 |
50岁以上（含50岁） |
|
| 100 |
50岁以下 | 55 |
|
|
总计 |
|
| 200 |
附：
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
，其中．
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.
（2）记函数，设是函数的两个极值点，
若，且恒成立，求实数的最大值.
参考答案
一、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | B | D | D | B | C | C | B | D | A | C | D |
二、填空题：
13．； 14．； 15．； 16．
三、解答题：
17.（1）；中位数为82.5. ..........................................................4分（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为，即概率为0.6，...5分
设所抽取的产品为一等品的个数为X，则，
所以，，
，. ..................................9分
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
所抽取的产品为一等品的数学期望. . ..................................................10分
18.（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为. .....................6分
（2）5 .....................12分
19.（1） .....................4分（2）.....................12分
20.（1）；.....................4分
（2）由（1）可得只需证
设，
令 ，得
当时，，当时，，.....................10分
所以，， 所以，.....................12分
21.（1）平均数天 .....................4分
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：.....................6分
| 潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 |
50岁以上（含50岁） | 65 | 35 | 100 |
50岁以下 | 55 | 45 | 100 |
总计 | 120 | 80 | 200 |
则，经查表，得，.....................10分
所以，没有的把握认为潜伏期与年龄有关． .....................12分
22.（1），∴函数，
令，则，............1分
令得，，列表得：
1 | （1，2） | 2 | |||
0 | 0 |
| |||
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
|
.....................................2分
∴当时，的极小值为，又，.........3分.
∵函数在上恰有两个零点∴即，..........5分
解得.................... 6分
（2），∴，
令得，
∵，是的极值点，∴，，∴，
∵，∴解得：，......................................8分
∴，
......................................10分
令，
则，∴在上单调递减；
∴当时，∴的最大值为...................................12分
