【数学】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试试题
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高二下学期期中考试试题
本试卷共22题，满分150分，共4页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．考生作答时，将答案答在答题纸上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案、非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题纸纸面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若其中是虚数单位,,则对应的点在第几象限
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 现有高一学生名，高二学生名，高三学生名.从中任选人参加市团委组织的演讲
比赛,有多少种不同的选法
A. B. C. D.
3. 下列求导运算正确的是
A. B.（是常数）
C. D.
4. 设为虚数单位，则二项式的展开式中含的项为
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象在点处的切线过点，则
A. B. C. D.
6. 将标号为的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为
的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为
A. B. C. D.
7. 设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的
二项式系数的最大值为，若，则
A. B. C. D.
8. 函数在定义域内可导，若，且当时，
，设则
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
10. 下面关于复数的四个命题中,结论正确的是
A.若复数,则； B.若复数满足,则；
C.若复数满足,则； D.若复数满足,则.
11. 若，则下列结论中正确的是
A.； B.；
C.； D..
12. 已知函数，下列结论中正确的是
A.函数在时，取得极小值；
B.对于恒成立；
C.若，则；
D.若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数在上的最大值为 ▲ .
14. 若,则的所有取值构成的集合为
▲ .
15. 展开式中的系数为 ▲ .
16. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ▲ ；
若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ▲ .
（本题第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）
在①，②复平面上表示的点在直线上，③.
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数，以及.
已知复数, .
若, 求复数，以及.
18. （12分）
（1）求的值；
（2）求函数的导函数．
19.（12分）
已知函数 在与时都取得极值.
（1）求的值;
（2）求函数的单调区间，并指出是极大值还是极小值.
20.（12分）
已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为，常数项为.
（1）求和的值；
（2）求展开式中的无理项.(不需求项的表达式,指出无理项的序号即可)
21.（12分）
已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）当时，求证：
22.（12分）
已知函数,其中,为自然对数的底数.
（1）当时，求证：；
（2）若在区间上恒成立, 求实数的取值范围.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | A | D | C | B | A | C | B | C |
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的
得3分，有选错的得0分.
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | BCD | AC | ACD | BCD |
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题:本大题共6个大题，共70分.
17. （10分）
解：方案一：选条件①，
因为所以， ………2分
由于，所以 ，解得. ………………4分
所以, ,
从而, ………8分
. ………………………10分
方案二：选条件②,
因为,所以,…2分
在复平面上表示的点为,
依题意可知,得, ………………………………………4分
所以, ,
从而, …………………………8分
. ………………………………10分
方案三：选条件③,
因为,所以,
由,得, ………………………………4分
所以, ,
从而, ………………8分
. ………………………10分
18.（12分）
解：（1） ………………………………………3分
. ……………………………………………………6分
（2）………8分
…………10分
. ………………12分
19．（12分）
解:（1）由,所以. ……………1分
由题意可知，, ………………………………………………2分
整理列方程组 ………………………………………………4分
解得. ………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知
当变化时，的变化情况如下表：
1 | |||||
＋ | 0 | － | 0 | ＋ | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
……………………8分
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是…10分
当时,有极大值；
当时,有极小值. ………………………12分
20．（12分）
解：（1）由题意可知，，所以. ………………2分
由,
所以二项展开式的通项是. ……………6分
可知当时,解得,表示常数项, ………………………………………7分
所以,解得. …………………………8分
（2）当不是整数时,二项展开式中对应的项为无理项.
由于,所以取奇数时即为所求. …………10分
此时对应的项分别是第2项、第4项、第6项、第8项、第10项,
即该二项展开式中是无理项. …………12分
21．（12分）
解：（1）的定义域为，． ………………2分
若，则当时，，故在单调递增.
若，则当时，；当时，．
故在单调递增，在单调递减. ………………5分
（2）因为，所以 …6分
令,
由二项式展开式得，①…8分
， ②
因为，①+②得： …9分
…………………………………10分
……………………………………………11分
所以 ………………………12分
22.（12分）
解: （1） 令,其中,
则. ……………………………2分
令,即,解得,
令,即,解得.
所以在上单调递减,在上单调递增. ………………………………4分
可得的最小值为,所以，
即，整理得. …………………………………6分
（2）由题意可知,两边取自然对数化简得, ……………………8分
又,所以. ……………………………………………………………9分
令,则,
由（1）知,当时,,
所以,即在上单调递增, …………………………………………11分
所以,从而. …………………………12分
