【数学】山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题
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高二下学期期中考试试题
本试卷共4页，共 150分，考试时间120分钟.
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设函数，则
A. B. C. D.
2.若，则
A. B. C. D.
3.一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为
A. B. C. D.
4.函数有
A. 极大值6，极小值2 B.极大值2，极小值6
C. 极小值-1，极大值2 D.极小值2，极大值8
5.已知函数与的图象如图所示，则不等式组的解集为
A． B． C． D．
6.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为
A. 420 B. 660 C. 840 D. 880
7.设，离散型随机变量的分布列是
0 | 1 | 2 | |
则当在内增大时
A.增大 B.减小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
8.已知函数 f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx在R上为增函数，则m的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.关于的说法，正确的是
A. 展开式中的二项式系数之和为2048
B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大
C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D. 展开式中第6项的系数最大
10.已知函数，则
A．函数一定存在最值
B．
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递增
- 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是
A.乙类水果的平均质量
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
12.已知函数，则以下结论正确的是
A. 函数的单调减区间是 B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且若则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为 .
14.用这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为
.（用数字作答）
15.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同。从盒中一次随机取出4个球，设表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则 .
16.设函数若不等式对一切恒成立，则 ，的取值范围为 .
（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
18.（12分) 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
| 满意 | 不满意 | 总计 |
男生 | 30 |
|
|
女生 |
| 15 |
|
合计 |
|
| 120 |
（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.
参考公式：附：
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
19.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.
20.（12分) 某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度月份至月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的组数据如下表所示：
月份 | ||||||
销售单价（元） | 11.1 | 8.8 | ||||
销售量（千件） | 2.5 | 3.2 |
（1）根据1至6月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到）；
（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到）
参考公式：回归直线方程，
参考数据：
21. （12分）为保护环境，某市有三家工厂要建造污水处理厂。三家工厂分别位于矩形ABCD的顶点A, B及CD的中点P处，已知AB=20 km，CB=10 km.按照规划要求污水处理厂建在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A, B等距离的一点O处，并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为y km.
(1) 按下列要求写出函数关系式：①设将表示成的函数关系式；
②设将表示成的函数关系式.
(2) 请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.
22.（12分) 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上无零点，求的取值范围.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-4 BCDA 5-8 BBDC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.AC 10.BC 11.ABC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 24 15. 16. 3
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：(1)f'(x)=(1+cosx)'(1-x3)+(1+cos x)(1-x3)'=-sinx(1-x3)-3x2(1+cos x)
=-sinx+x3 sinx-3x2-3x2cos x. …………………………5分
(2),则. ………10分
18.解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，
| 满意 | 不满意 | 总计 |
男生 | 30 | 25 | 55 |
女生 | 50 | 15 | 65 |
合计 | 80 | 40 | 120 |
于是可完成列联表，如下：
…………………….3分
根据列联表中的数据，得到的观测值
，
所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ……………6分
（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人， ………… 7分
依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即
,
. ……………10分
0 | 1 | 2 | 3 | |
可得分布列为
……………………11分
可得. ……………………12分
19.解：（1）的定义域为，当时，，
…………………………2分
令得，令得，所以的增区间为，减区间为.
…………………………4分
（2） …………………………5分
①当时，若，则，
此时，在上单调递增，
所以函数在处不可能取得极大值，不合题意. …………………7分
②当时，
| 极大值 |
|
函数在处取得极大值. …………………………11分
综上可知，的取值范围是 …………………………12分
20.解:（1）由条件知，，， ……………2分
， …………… 4分
从而，
故关于的线性回归方程为. …………………6分
（2）假设7月份的销售单价为元，则由（1）可知，7月份零配件销量为，
故7月份的利润， …………9分
其对称轴，故7月份销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大.
…………………12分
21.解：（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若则，
故又
所以，
所求函数关系式为
. ………………3分
②若则
所以，
所求函数关系式为.…………………6分
(3) 选择函数模型①，
， …………………………8分
令得，所以，当时，是的减函数；
当时，是的增函数； …………………………10分
所以当时，.这时点位于线段AB的中垂线上，且距离AB边处. ……12分
（若选择②请自行解答）
22.(12分）
解：（1）当时，，定义域为，则，
令，得，令，得， ……………2分
的单调递减区间为，单调递增区间为. ……………3分
（2）函数在区间上无零点，
在区间上，恒成立或恒成立，
，
，……………5分
①当时，，
在区间上，，
记，
则， ……… ……… ……………7分
在区间上，，
在区间上，单调递减，，
即，，
即在区间上恒成立，满足题意； ……………9分
②当时，，，
，
，，，
在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.
综上所述，. ………………………12分
