【数学】辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题
展开辽宁师范大学附属中学2019-2020学年
高二下学期期中考试试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第 Ⅰ 卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
1.已知为虚数单位，若，则 （ ）
A. 1 B. C. D.2
2. 的展开式中的常数项是 （ ）
A. B. C. D.
3.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是
( )
A. B. C. D.
4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：
则下列结论中正确的是 ( )
A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍
C．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当
D．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍
- 已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x＋a，则a＝ ( )
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
A.3.25 B．2.6 C．2.2 D．0
6．盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为 ( )
A． B C. D.
7.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为。 （ ）（已知若，则，
）
1140 1075 2280 2150
8.若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是 （ ）
A. -270 B. 270 C. -90 D. 90
9.某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )
A.14 B.24 C.28 D.48
10.已知函数，则的极大值点为 ( )
A. B. C. D.
11．定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为 （ ）
A．(0,+∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)
C．(－∞,0)∪(0,+∞) D．(3,+ ∞)
12.若曲线C1：与曲线C2：存在公共切线，则a的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
第 Ⅱ 卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题包括4小题，每题5分，共20分。
13.已知为纯虚数（是虚数单位）则实数 .
14．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，
则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）.
15.已知
，
则 .
16.记函数若对任意的实数k，总存在实数m，使得=k成立，则实数s的取值集
合 .
三、解答题：本题包括4小道大题，共70分。
17．（本题10分）若复数，当实数为何值时.
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点在第二象限.
18. （本题12分）在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.
19. （本题12分）已知函数在处取得极值．
(1)求，并求函数在点处的切线方程；
(2) 求函数的单调区间．
- （本题12分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为．
（1）求n的值；
（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；
（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望．
21.（本题12分）2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．
（Ⅰ）请填写以下列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
| 活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 |
城市M |
|
|
|
城市N |
|
|
|
合计 |
|
|
|
临界值表：
参考公式：．
（Ⅱ）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望．
22. （本题12分） 已知函数.
(l)若a＝2，求证：当x≥1时，.
(2)若不等式f(x)－2x＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：1—5、BBABB；6—10、BCCAD；11—12、AD
二、填空题:13-16、1; ; 31;.
三、解答题
17.（1）当是实数时,,解得或,
所求的值为或;
（2）当是纯虚数时,,解得, 所求的值为;
（3）当对应的点在第二象限时,
,解得,
实数的取值范围是.
18. 【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.
(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,
所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.
20．（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
（2）若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为大集团的概率为．
（3）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，，
，，；
故的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
数学期望为．
21由已知可得以下列联表：
| 活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 |
城市M | 60 | 40 | 100 |
城市N | 80 | 20 | 100 |
合计 | 140 | 60 | 200 |
计算，
所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关．
（2）由统计数据可知，城市M中活跃用户占，城市N中活跃用户占，
设从M城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则
设从N城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，其中． 故，
；
；
；
．
故所求的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
．
