湖南省岳阳市备战2021年中考数学试题分类汇编 专题五 圆（教师版）
展开专题五 圆
- (2016,11)在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm．
答案：4π
- (2016,13)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度．
答案：70
- (2016,23)数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）
答案：解:（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）结论：直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B==．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B=，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，
∴BB′=2•nsinβ，
在Rt△A′BB′中，A′B==．
- (2017,16)如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PDBC，则AP平分∠CAB；
③若PB=BD，则PD=；④无论点P在弧上的位置如何变化，CPCQ为定值．
答案：②③④
- (2018,16)如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①=；②扇形OBC的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．
答案：①③④
解析 ∵弦CD⊥AB,
∴=,所以①正确;
∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,
∴扇形OBC的面积==π,所以②错误;
∵☉O与CE相切于点C,∴OC⊥CE,
∴∠OCE=90°,
∵∠COF=∠EOC,∠OFC=∠OCE,
∴△OCF∽△OEC,所以③正确;
若点P为线段OA上一点,则AP·OP=(9-OP)·OP=,
当OP=时,AP·OP的最大值为,所以④正确.
- (2019,16) 如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A，B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①AM平分∠CAB；
②；
③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；
④若AC=3，BD=1，则有CM=DM=.
答案：①②④
- (2020,16) 如图，AB为半圆O的直径，M、C是半圆上的三等分点，AB=8，BD与半圆O相切于点B，点P为上一动点(不与A，M重合)，直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①PB=PD；
的长为；
③∠DBE=45°；
④;
⑤为定值.
答案：②⑤
